Quotientenregel
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Quotientenregel
Grundregel. \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\). Zuerst die Ableitung des Zählers, dann Minus, der Nenner im Quadrat. Vorher prüfen, ob Kürzen oder Aufteilen kürzer ist.
Beispiel
\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) gibt \(f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
Fälle
Nenner ein einzelnes Glied: Zähler aufteilen und Potenzregel, \(\frac{x^2+3}{x}=x+3x^{-1}\). Bruch lässt sich kürzen: erst kürzen. Nenner eine Summe: Quotientenregel.
Achtung
Die Ableitung eines Bruchs ist nicht der Bruch der Ableitungen. Der Nenner wird quadriert. Im Zähler steht ein Minus, die Reihenfolge ist wichtig.
Mein Merksatz
Wie leitest du einen Bruch von zwei Funktionen ab?
Beispiel ansehen
\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Für \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) ist \(f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Quotientenregel
Du hast eine Aufgabe auf Klausurniveau gelöst und kannst dieses Thema. Weitere Aufgaben dazu bleiben freiwillig.
Du kannst einen Bruch darstellen und mit 1 vergleichen.
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.