Differentialquotient
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Differentialquotient
Grundregel. \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Erst vereinfachen und \(h\) kürzen, dann \(h\) gegen \(0\) gehen lassen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente.
Beispiel
Für \(f(x)=x^2+x\) an der Stelle \(4\) ist der Differenzenquotient \(9+h\), also \(f'(4)=9\).
Fälle
Ist \(f'(x_0)>0\), steigt \(f\) dort, bei \(f'(x_0)<0\) fällt \(f\), bei \(0\) ist die Tangente waagerecht. Bei einem Knick wie \(|x|\) in \(0\) gibt es keinen Differentialquotienten.
Achtung
Die Steigung ist weder der Funktionswert noch die Stelle. \(h=0\) setzt du erst nach dem Kürzen ein, ein festes \(h\) wie \(1\) gilt nicht.
Mein Merksatz
Wie bestimmst du die Steigung der Tangente aus dem Differenzenquotienten?
Beispiel ansehen
Vereinfachen, h kürzen, h gegen 0. Für \(f(x)=x^2\) ist \(\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=2x_0+h\), also \(f'(x_0)=2x_0\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
Löse eine Aufgabe auf Warm-up, um Standard freizuschalten.
Geschafft: Differentialquotient
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.