Differenzenquotient
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Differenzenquotient
Grundregel. Der Differenzenquotient von \(f\) zwischen \(x_0\) und \(x_1\) ist \(\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\). Er ist die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte der Kurve.
Beispiel
Für \(f(x)=x^2\) zwischen den Stellen 4 und 7 ist \(f(4)=16\) und \(f(7)=49\). Der Differenzenquotient ist \(\frac{49-16}{7-4}=\frac{33}{3}=11\).
Fälle
Bei einer Geraden \(f(x)=ax+b\) ergibt jedes Stellenpaar \(a\). Bei einer Kurve hängt der Wert vom Stellenpaar ab. Tauschst du \(x_0\) und \(x_1\), tauschen Zähler und Nenner zugleich das Vorzeichen, und der Wert bleibt gleich.
Achtung
Im Zähler und im Nenner steht jeweils eine Differenz. Es reicht nicht, nur die Funktionswerte zu subtrahieren oder durch \(x_1\) allein zu teilen.
Mein Merksatz
Wie rechnest du den Differenzenquotienten zwischen zwei Stellen aus?
Beispiel ansehen
Änderung des Funktionswerts geteilt durch Änderung von \(x\). Für \(f(x)=x^2\) zwischen den Stellen 2 und 3 ist das \(\frac{9-4}{3-2}=5\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Differenzenquotient
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.