Extrem- und Wendepunkte
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Extrem- und Wendepunkte
Grundregel. Extremstellen löst du mit \(f'(x)=0\). Dort ist \(f''<0\) ein Hochpunkt und \(f''>0\) ein Tiefpunkt. Wendestellen löst du mit \(f''(x)=0\) und prüfst \(f'''\neq 0\). Den Funktionswert bekommst du durch Einsetzen in \(f\).
Beispiel
\(f(x)=x^3-6x^2+9x\): Hochpunkt \((1,4)\), Tiefpunkt \((3,0)\), Wendepunkt \((2,2)\).
Fälle
Bei \(f''(x_0)=0\) sagt der Test nichts, dann entscheidet der Vorzeichenwechsel von \(f'\). Eine waagerechte Tangente ohne Extremum ist ein Sattelpunkt.
Achtung
Nullstelle von \(f\) und stationäre Stelle sind verschieden. Die Stelle ist der \(x\)-Wert, der Funktionswert der \(y\)-Wert. Beim Auflösen nach \(x\) durch den Faktor teilen.
Mein Merksatz
Wie findest du Extrem- und Wendepunkte?
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\(f'(x)=0\) gibt die Kandidaten. \(f''<0\): Hochpunkt, \(f''>0\): Tiefpunkt. \(f''(x)=0\) gibt Wendepunkte. Für \(f(x)=x^3-6x^2+9x\): Hochpunkt bei \(x=1\), Tiefpunkt bei \(x=3\), Wendepunkt bei \(x=2\).
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Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Extrem- und Wendepunkte
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.