Vorzeichentabelle der Ableitung
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Vorzeichentabelle der Ableitung
Grundregel. \(f'>0\): \(f\) steigt. \(f'<0\): \(f\) fällt. Wechselt \(f'\) an einer Nullstelle von plus nach minus, liegt dort ein Hochpunkt, von minus nach plus ein Tiefpunkt. Bleibt das Vorzeichen gleich, ist es kein Extrempunkt.
Beispiel
\(f(x)=x^3-6x^2+9x\), \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\): \(f\) steigt auf \(x<1\), fällt auf \(1
Fälle
Eine doppelte Nullstelle von \(f'\) wechselt das Vorzeichen nicht, das ist ein Sattelpunkt. Ein Minus vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um.
Achtung
Testwerte aus jedem Intervall nehmen. Das Vorzeichen von \(f'\) sagt nichts über das Vorzeichen von \(f\). Plus nach minus ist ein Hochpunkt.
Mein Merksatz
Wie liest du Extrempunkte aus dem Vorzeichen von f' ab?
Beispiel ansehen
Plus nach minus: Hochpunkt. Minus nach plus: Tiefpunkt. Vorzeichen bleibt: Sattelpunkt. Für \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\): Hochpunkt bei \(1\), Tiefpunkt bei \(3\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Vorzeichentabelle der Ableitung
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.