Monotonie
Stand: noch offen
Monotonie
Grundregel. Streng monoton wachsend: \(x_1\lt x_2\) gibt \(f(x_1)\lt f(x_2)\). Fallend: \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Gerade \(mx+b\): Steigung \(m\) entscheidet. Parabel \((x-a)^2+b\): fällt links von \(a\), steigt rechts davon.
Beispiel
\(f(x)=(x+2)^2-5\) fällt für \(x\lt -2\) und steigt für \(x\gt -2\).
Fälle
\(\frac{1}{x}\) fällt auf jedem der beiden Bereiche, aber nicht zusammen. \(x^3\) und \(e^x\) steigen überall. Kosten wachsen, die Nachfrage fällt mit dem Preis.
Achtung
Das Vorzeichen in der Klammer lesen: \((x+2)^2\) hat den tiefsten Punkt bei \(-2\). Die Stelle nicht mit der Höhe verwechseln. Monotonie gilt auf einem Intervall.
Mein Merksatz
Wie entscheidest du, wo eine Funktion steigt oder fällt?
Beispiel ansehen
Für \(x_1\lt x_2\) gilt \(f(x_1)\lt f(x_2)\): steigt. Für \((x+2)^2-5\) liegt der tiefste Punkt bei \(x=-2\): fällt für \(x\lt -2\), steigt für \(x\gt -2\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
Löse eine Aufgabe auf Warm-up, um Standard freizuschalten.
Geschafft: Monotonie
Du hast eine Aufgabe auf Klausurniveau gelöst und kannst dieses Thema. Weitere Aufgaben dazu bleiben freiwillig.
Du kannst einen Bruch darstellen und mit 1 vergleichen.
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.