Inverse
Stand: noch offen
Inverse
Grundregel. \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\). Invertierbar genau dann, wenn \(\det A\neq 0\). \(x=A^{-1}\cdot y\), die Inverse von links. Inverse per Gauß: \((A\mid E)\to(E\mid A^{-1})\).
Beispiel
Für \(\begin{pmatrix}4&3\\5&4\end{pmatrix}\) ist die Inverse \(\begin{pmatrix}4&-3\\-5&4\end{pmatrix}\).
Fälle
Parameter \(k\), bei dem keine Inverse existiert: \(\det=0\) setzen. Nullzeile beim Gauß-Verfahren: keine Inverse.
Achtung
\(A^{-1}\) steht links. Nicht durch eine Matrix teilen. Determinante \(0\) heißt keine Inverse.
Mein Merksatz
Wann gibt es die Inverse, und wie löst du damit ein System?
Beispiel ansehen
\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\), existiert genau bei \(\det A\neq 0\). \(A\cdot x=y\) gibt \(x=A^{-1}\cdot y\). Für \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) ist \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
Löse eine Aufgabe auf Warm-up, um Standard freizuschalten.
Geschafft: Inverse
Du hast eine Aufgabe auf Klausurniveau gelöst und kannst dieses Thema. Weitere Aufgaben dazu bleiben freiwillig.
Du kannst einen Bruch darstellen und mit 1 vergleichen.
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.