Hesse-Matrix
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Hesse-Matrix
Grundregel. Hesse-Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen, \(f_{xx}\) und \(f_{yy}\) auf der Diagonale, daneben \(f_{xy}=f_{yx}\) (Satz von Schwarz). \(\det H_f=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\).
Beispiel
\(f=x^2y^3-3xy\) gibt \(H_f=\begin{pmatrix}2y^3&6xy^2-3\\6xy^2-3&6x^2y\end{pmatrix}\), am Punkt \((1,1)\) die Determinante \(3\).
Fälle
Gemischte Ableitung: erst nach einer Variable, dann nach der anderen. Bei Produkt und Verkettung Produktregel und Kettenregel nutzen. Probe mit der anderen Reihenfolge.
Achtung
Zweite, nicht erste Ableitungen. Das Quadrat von \(f_{xy}\) abziehen, nicht addieren.
Mein Merksatz
Wie bildest du die Hesse-Matrix und ihre Determinante?
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\(H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}\), \(\det H_f=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\). Satz von Schwarz: \(f_{xy}=f_{yx}\).
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Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Hesse-Matrix
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