Nebenbedingung und Lagrange-Ansatz
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Nebenbedingung und Lagrange-Ansatz
Grundregel. Das Extremum unter \(g(x,y)=c\) liegt auf der Linie \(g=c\). Weg 1: nach einer Variablen auflösen, in \(f\) einsetzen, ableiten. Weg 2: \(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\), dann \(\mathcal{L}_x=0\), \(\mathcal{L}_y=0\), \(\mathcal{L}_\lambda=g-c=0\).
Beispiel
\(f=x\cdot y\) unter \(x+2y=12\): \(y=6-\frac{x}{2}\), \(f(x)=6x-\frac{x^2}{2}\), \(f'(x)=6-x=0\) gibt \(x=6\) und \(y=3\).
Fälle
Bei einer linearen Nebenbedingung ist das Einsetzen kürzer. Der Lagrange-Ansatz lohnt sich bei Nebenbedingungen, die sich nicht auflösen lassen, und wenn \(\lambda\) gebraucht wird.
Achtung
Das Extremum ohne Nebenbedingung erfüllt sie meist nicht. In \(\mathcal{L}\) steht \(g-c\), nicht nur \(g\). Die Nebenbedingung wird addiert, nicht multipliziert.
Mein Merksatz
Wie findest du ein Extremum unter einer Nebenbedingung?
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Nebenbedingung auflösen, einsetzen, ableiten. Oder \(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\) mit \(\mathcal{L}_x=\mathcal{L}_y=\mathcal{L}_\lambda=0\).
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