Zweite und dritte Ableitung
Voraussetzung: Produktregel
Die Ableitung \(f'\) einer Funktion ist wieder eine Funktion von \(x\). Also kannst du sie noch einmal ableiten. Das Ergebnis heißt zweite Ableitung und wird \(f''\) geschrieben. Leitest du \(f''\) ab, erhältst du die dritte Ableitung \(f'''\). Beispiel: Für \(f(x)=x^3\) ist \(f'(x)=3x^2\), dann \(f''(x)=6x\) und \(f'''(x)=6\). Man könnte versuchen, \(f'\) zu quadrieren, weil die Schreibweise zwei Striche hat. Das ist falsch: \((f')^2=9x^4\), aber \(f''=6x\).
Zum Rechnen brauchst du nichts Neues. Du leitest mit den bekannten Regeln ab und wiederholst das so oft, wie die Aufgabe verlangt. Wichtig ist die Reihenfolge: Du bildest erst die Funktion \(f''\) und setzt erst danach eine Stelle ein. Setzt du vorher ein, bleibt eine Zahl, und die hat die Ableitung \(0\).
Bei Potenzen geht es in einem Schritt. Der Exponent wird zum Faktor, der Exponent sinkt um \(1\), und das zweimal hintereinander: \((x^n)''=n(n-1)x^{n-2}\) und \((x^n)'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\). Aus \(x^5\) wird so \(20x^3\) für \(f''\) und \(60x^2\) für \(f'''\). Glieder mit \(x\) hoch eins werden in \(f'\) zur Zahl und fallen in \(f''\) weg. Glieder mit \(x^2\) fallen in \(f'''\) weg.
Was sagen die Ableitungen? Die erste, \(f'\), gibt die Steigung des Graphen. Die zweite, \(f''\), gibt an, wie sich diese Steigung ändert, und damit die Krümmung. Ist \(f''(x)>0\), wächst die Steigung, und der Graph ist nach oben gekrümmt (Linkskurve). Ist \(f''(x)<0\), fällt die Steigung, und der Graph ist nach unten gekrümmt (Rechtskurve). Damit entscheidest du später, ob eine Nullstelle von \(f'\) ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist.
Mehrere Wege führen zum Ziel. Bei einem Polynom ist der Abkürzer am schnellsten. Bei einem Produkt wie \((x+a)e^x\) wendest du die Produktregel zweimal an, oder du erkennst das Muster: Jede Ableitung erhöht die Zahl in der Klammer um \(1\), also \(f''(x)=(x+a+2)e^x\). Bei einem Bruch oder einer Verkettung kommt es auf die Aufgabe an, wie bei der ersten Ableitung: Vereinfache zuerst, dann leite zweimal ab.
Schreibweise für höhere Ableitungen
Ab der vierten Ableitung schreibt man die Zahl in Klammern oben: \(f^{(4)}\), \(f^{(5)}\). Die Striche \(f'''\) werden unübersichtlich. Beispiel: Für \(f(x)=x^4\) ist \(f^{(4)}(x)=24\), und alle weiteren Ableitungen sind \(0\). In der Klausur reichen meist \(f'\), \(f''\) und \(f'''\).
Erst ableiten, dann einsetzen, \(f(x)=x^3\) bei \(x=2\)
Richtig: \(f''(x)=6x\), also \(f''(2)=12\). Falsch wäre es, erst \(f(2)=8\) zu rechnen und diese Zahl abzuleiten, das gibt \(0\). Die Ableitung gehört zur Funktion, nicht zu einer einzelnen Zahl.
Produkt zweimal ableiten, \(f(x)=x\,e^x\)
Die Produktregel gibt \(f'(x)=e^x+x\,e^x=(x+1)e^x\). Noch einmal angewendet: \(f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\). Das Muster setzt sich fort, \(f'''(x)=(x+3)e^x\). Das Muster trägt nur bei diesem Produkt, bei anderen Funktionen rechnest du jede Ableitung einzeln.