Zweite und dritte Ableitung
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Zweite und dritte Ableitung
Grundregel. \(f''=(f')'\) und \(f'''=(f'')'\). Bei Potenzen \((x^n)''=n(n-1)x^{n-2}\). Erst ableiten, dann die Stelle einsetzen. \(f''\gt 0\): nach oben gekrümmt, \(f''\lt 0\): nach unten gekrümmt.
Beispiel
\(f(x)=x^5-2x^3+4x\) gibt \(f''(x)=20x^3-12x\) und \(f'''(x)=60x^2-12\).
Fälle
Polynom: Abkürzer \(n(n-1)x^{n-2}\). Produkt mit \(e^x\): Produktregel, die Zahl in der Klammer wächst um 1. Stelle gesucht: erst \(f''\) bilden, dann einsetzen.
Achtung
\(f''\) ist nicht \((f')^2\). Nicht vor dem Ableiten einsetzen. Eine Zahl in \(f'\) fällt beim nächsten Ableiten weg, ein Glied mit \(x\) nicht.
Mein Merksatz
Wie bildest du die zweite und die dritte Ableitung?
Beispiel ansehen
\(f''\) ist die Ableitung von \(f'\). Für \(f(x)=x^3\) ist \(f'(x)=3x^2\), \(f''(x)=6x\) und \(f'''(x)=6\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Zweite und dritte Ableitung
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.