Regel von L'Hospital
Voraussetzung: Grenzwert für x gegen unendlich und an einer Stelle
Hilft vorher: Ableitungsregeln
Manche Grenzwerte lassen sich nicht einfach einsetzen, weil Zähler und Nenner zugleich null werden oder zugleich über alle Grenzen wachsen. Kürzen hilft nur, wenn sich ein Faktor findet. Die Regel von L'Hospital löst viele dieser Fälle mit der Ableitung: Du leitest Zähler und Nenner getrennt ab und bildest den Grenzwert des neuen Bruchs. Du brauchst sie für Grenzwerte mit \(e^x\) und \(\ln x\), bei denen sich nichts kürzen lässt. Voraussetzung sind der Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion und die Ableitungsregeln.
Die Regel: Die Funktionen \(f\) und \(g\) seien in der Umgebung der Stelle \(a\) differenzierbar. Gilt entweder \(\lim f(x)=\lim g(x)=0\) oder \(\lim f(x)=\lim g(x)=\pm\infty\) für \(x\to a\), und existiert der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen, dann ist
\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]
Die Voraussetzung ist die Form \(\tfrac00\) oder \(\tfrac\infty\infty\). Bei jeder anderen Form gilt die Regel nicht. Außerdem darf \(g'(x)\) nahe \(a\) nicht null sein, und der Grenzwert des neuen Bruchs muss existieren. Existiert er nicht, sagt die Regel über den ursprünglichen Grenzwert nichts, und du musst anders vorgehen, etwa durch Kürzen. Du leitest Zähler und Nenner jeweils für sich ab, nicht den Bruch mit der Quotientenregel.
Bleibt nach dem Ableiten wieder die Form \(\tfrac00\) oder \(\tfrac\infty\infty\), wendest du die Regel noch einmal an. Beim Ableiten von \(e^{kx}\) gehört der Faktor \(k\) der Kettenregel dazu.
Beim Einsetzen von \(x=0\) steht \(\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac00\) da. Die Regel von L'Hospital passt. Der Zähler hat die Ableitung \(3\,e^{3x}\), der Nenner die Ableitung \(1\). Der neue Bruch ist \(\dfrac{3\,e^{3x}}{1}\), und für \(x=0\) ist das \(3\). Der Grenzwert ist \(3\).
Ein zweites Beispiel, unendlich durch unendlich
Für \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{e^x}\) gehen Zähler und Nenner über alle Grenzen. Abgeleitet steht \(\dfrac{2x}{e^x}\) da, wieder \(\tfrac\infty\infty\). Noch einmal abgeleitet steht \(\dfrac{2}{e^x}\) da, und der Nenner geht über alle Grenzen, der Bruch gegen \(0\). Der Grenzwert ist \(0\): Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz.
Kürzen oder L'Hospital
Für \(\dfrac{x^2-16}{x-4}\) bei \(x\to 4\) führt auch das Kürzen zum Ziel, \(x+4\) hat bei \(4\) den Wert \(8\). Mit L'Hospital: \(\dfrac{2x}{1}\) gibt \(8\). Beide Wege stimmen überein. Das Kürzen ist oft kürzer, L'Hospital hilft, wenn sich nichts kürzen lässt.