Kettenregel
Voraussetzung: Ableitungsregeln
Bisher waren alle Funktionen einfach gebaut: eine Potenz von \(x\), die e-Funktion, der Logarithmus, Summen und Produkte davon. Bei \(f(x)=(x^3-1)^4\) oder \(e^{2x}\) steckt eine Funktion in einer anderen. Das heißt Verkettung: Du setzt erst \(x\) in die innere Funktion ein und das Ergebnis in die äußere. Die Potenzregel allein reicht dann nicht. Man könnte versuchen, nur die äußere Funktion abzuleiten und die Klammer stehen zu lassen. Das ist falsch, wie ein einfaches Beispiel zeigt: \((2x)^2=4x^2\) hat die Ableitung \(8x\), aber nur die äußere Potenz abzuleiten gibt \(2\cdot(2x)=4x\).
Die richtige Regel heißt Kettenregel. Für \(f(x)=g\big(h(x)\big)\) gilt
\[ f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x). \]
Du leitest also die äußere Funktion ab und lässt die innere unverändert darin stehen. Dann multiplizierst du mit der Ableitung der inneren Funktion. Der Grund steht im Differenzenquotienten. Du erweiterst ihn mit \(h(x+k)-h(x)\) und erhältst das Produkt aus der Änderung von \(g\) pro Änderung von \(h\) und der Änderung von \(h\) pro Änderung von \(x\). Lässt du die Schrittweite gegen \(0\) gehen, werden daraus \(g'(h(x))\) und \(h'(x)\).
Der Ablauf hat vier Schritte. Du erkennst die innere Funktion, sie steckt in der Klammer oder im Exponenten. Du leitest die äußere Funktion ab und lässt die innere darin stehen. Die Tabelle auf der Karte Ableitungsregeln hilft dir dabei. Du leitest die innere Funktion ab. Du multiplizierst beide Ableitungen und ordnest das Ergebnis.
Zwei Fälle kommen oft vor. Bei \(e^{h(x)}\) bleibt die e-Funktion unverändert, und es kommt \(h'(x)\) als Faktor dazu: \(\big(e^{h(x)}\big)'=h'(x)\,e^{h(x)}\). Bei \(\ln\big(h(x)\big)\) ist die äußere Ableitung \(\frac{1}{h(x)}\), und es gilt \(\big(\ln h(x)\big)'=\frac{h'(x)}{h(x)}\).
Nicht jede Klammer braucht die Kettenregel, und oft führt ein anderer Weg schneller zum Ziel. Bei einer kleinen Potenz wie \((x+1)^2\) kannst du ausmultiplizieren und Glied für Glied ableiten. Bei \((x+1)^7\) wäre das eine lange Rechnung, die Kettenregel ist hier viel kürzer. Bei \(e^{2x}\) oder \(\ln(x^2+1)\) gibt es keinen anderen Weg. Entscheide darum zuerst: Lässt sich die Klammer leicht ausmultiplizieren, oder steht eine hohe Potenz oder eine e-Funktion oder ein Logarithmus davor?
Zwei Wege, ein Ergebnis, \(f(x)=(x+2)^2\)
Mit der Kettenregel: \(2(x+2)\cdot 1=2x+4\). Mit Ausmultiplizieren: \(x^2+4x+4\) hat die Ableitung \(2x+4\). Beide Wege sind kurz, bei der zweiten Potenz darfst du wählen. Bei der dritten Potenz ist das Ausmultiplizieren schon deutlich länger, bei der siebten kaum noch sinnvoll.
Innere Ableitung gleich eine Zahl, \(f(x)=e^{3x}\)
Die innere Funktion ist \(3x\), ihre Ableitung ist die Zahl \(3\). Die Kettenregel gibt \(f'(x)=3e^{3x}\). Genauso ist \(\big((4x+1)^5\big)'=5(4x+1)^4\cdot 4=20(4x+1)^4\). Bei einer linearen inneren Funktion \(ax+b\) ist die innere Ableitung immer \(a\).
Mehrere Schichten
Bei \(f(x)=e^{(x^2+1)^2}\) sind es drei Funktionen ineinander. Du leitest von außen nach innen, jede Schicht liefert einen Faktor: \(f'(x)=e^{(x^2+1)^2}\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x\). Das Ergebnis lässt sich zu \(4x(x^2+1)\,e^{(x^2+1)^2}\) ordnen.