Kettenregel
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Kettenregel
Grundregel. \(\big(g(h(x))\big)'=g'(h(x))\cdot h'(x)\). Äußere Ableitung mit der inneren darin, mal die innere Ableitung. Vorher prüfen, ob Ausmultiplizieren bei einer kleinen Potenz kürzer ist.
Beispiel
\(f(x)=(x^3-1)^4\) gibt \(f'(x)=4(x^3-1)^3\cdot 3x^2=12x^2(x^3-1)^3\).
Fälle
Potenz einer Klammer: Exponent senken, mal innere Ableitung. \(e^{h(x)}\): \(h'(x)\,e^{h(x)}\). \(\ln(h(x))\): \(\frac{h'(x)}{h(x)}\). Kleine Potenz einer Summe: ausmultiplizieren ist auch möglich.
Achtung
Die innere Ableitung nicht vergessen. Sie wird multipliziert, nicht addiert. Der Exponent der Klammer sinkt um 1.
Mein Merksatz
Wie leitest du eine Funktion ab, die in einer anderen steckt?
Beispiel ansehen
\(f(x)=g(h(x))\) hat \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\). Für \(f(x)=(x^3-1)^4\) ist \(f'(x)=12x^2(x^3-1)^3\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Kettenregel
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.