Regeln kombinieren
Voraussetzung: Kettenregel
Du kennst jetzt die Potenz-, Faktor- und Summenregel, die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. In der Klausur steht aber kein Schild an der Funktion, welche Regel gilt, und oft braucht eine Funktion zwei Regeln. Zwei Fragen führen dich: Was ist die letzte Rechenoperation, wenn du \(f(x)\) für ein \(x\) ausrechnest? Und lässt sich der Term vorher vereinfachen? Die erste Frage nennt dir die Regel, mit der du beginnst. Die zweite spart oft die halbe Rechnung.
| Letzte Operation | Regel |
|---|---|
| Summe | Summenregel |
| Zahl mal Funktion | Faktorregel |
| Produkt mit \(x\) | Produktregel |
| Bruch mit \(x\) unten | Quotientenregel |
| Funktion in Funktion | Kettenregel |
Je ein Beispiel dazu, in derselben Reihenfolge: \(x^3+e^x\), \(5\ln(x)\), \(x^2e^x\), \(\frac{x}{x+1}\) und \((3x+1)^5\).
Die Regeln lassen sich ineinander schachteln. Du beginnst außen und arbeitest dich nach innen. Beispiel: \(f(x)=x^2\cdot e^{3x}\). Die letzte Rechenoperation ist ein Produkt, also beginnst du mit der Produktregel. Setze \(u=x^2\) und \(v=e^{3x}\). Es ist \(u'=2x\). Für \(v'\) brauchst du die Kettenregel, denn \(3x\) steckt in der e-Funktion: \(v'=3e^{3x}\). Die Produktregel gibt \(f'(x)=2x\,e^{3x}+x^2\cdot 3e^{3x}=(2x+3x^2)\,e^{3x}\).
Nicht jede Funktion braucht eine der großen Regeln. Oft führt eine andere Regel viel schneller zum Ziel, und die Musterlösung zeigt, welche. Prüfe darum vor dem Ableiten, ob sich der Term vereinfachen lässt:
Sind es kleine Potenzen von Summen, multiplizierst du aus und leitest Glied für Glied ab. Steht im Nenner nur ein einzelnes Glied, kürzt du oder teilst den Zähler auf. Ein Term wie \(\frac{1}{x^3}\) oder \(\sqrt{x}\) wird als Potenz geschrieben, \(x^{-3}\) oder \(x^{1/2}\), und dann reicht die Potenzregel. Erst wenn das nicht geht, nimmst du Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel. Die Rechnung wird dadurch kürzer, und es schleichen sich weniger Fehler ein.
Dieselbe Funktion, zwei Regeln, \(f(x)=\frac{5}{x^3}\)
Mit der Potenzregel: \(\frac{5}{x^3}=5x^{-3}\) hat die Ableitung \(-15x^{-4}=-\frac{15}{x^4}\). Mit der Quotientenregel: \(u=5\) und \(v=x^3\) geben \(\frac{0\cdot x^3-5\cdot 3x^2}{x^6}=-\frac{15x^2}{x^6}=-\frac{15}{x^4}\). Beide Wege stimmen überein. Der erste ist kürzer, denn die Zahl im Zähler ist keine Funktion mit \(x\). Steht im Zähler eine Zahl, schreibst du den Bruch als Potenz.
Mehrere Regeln in einem Term, \(f(x)=3x^2+\frac{\ln(x)}{x}\)
Die letzte Rechenoperation ist eine Summe, also leitest du jedes Glied einzeln ab. Das erste Glied gibt \(6x\) nach der Faktor- und Potenzregel. Das zweite Glied ist ein Bruch mit \(x\) im Zähler und im Nenner, hier gilt die Quotientenregel: \(\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln(x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\). Beide Teile werden addiert. Nach jedem Teil fragst du dich neu, welche Regel passt.