Produktregel
Voraussetzung: Ableitungsregeln
Die Potenz-, Faktor- und Summenregel reichen nicht, wenn die Funktion ein Produkt zweier Funktionen mit \(x\) ist, etwa \(x^2\cdot e^x\) oder \(x\cdot\ln(x)\). Man könnte versuchen, beide Faktoren einzeln abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren. Das ist falsch, wie ein einfaches Beispiel zeigt: \(x\cdot x=x^2\) hat die Ableitung \(2x\), aber \(1\cdot 1=1\).
Die richtige Regel heißt Produktregel. Für \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt
\[ f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x). \]
Du leitest also jeden Faktor einmal ab, der andere bleibt stehen, und addierst die beiden Summanden. Der Grund steht im Differenzenquotienten. Sein Zähler lässt sich so umschreiben:
\[ \begin{aligned} &u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)\\ &=\big(u(x+h)-u(x)\big)v(x+h)\\ &\quad+u(x)\big(v(x+h)-v(x)\big). \end{aligned} \]
Teilst du durch \(h\) und lässt \(h\) gegen \(0\) gehen, werden aus den Klammern \(u'\) und \(v'\).
Der Ablauf hat vier Schritte. Du legst \(u\) und \(v\) fest. Du bildest \(u'\) und \(v'\), die Ableitungen der Grundfunktionen schlägst du in der Tabelle auf der Karte Ableitungsregeln nach. Du setzt in \(u'v+uv'\) ein. Du fasst zusammen und klammerst gemeinsame Faktoren aus.
Nicht jedes Produkt braucht die Produktregel, und oft führt ein anderer Weg schneller zum Ziel. Sind beide Faktoren Summen von Potenzen, kannst du erst ausmultiplizieren und dann Glied für Glied ableiten. Bei \((x^2+4)(x^2-4)=x^4-16\) ist das viel kürzer. Steht vor dem Term nur eine Zahl, genügt die Faktorregel. Die Produktregel brauchst du, wenn ein Faktor wie \(e^x\) oder \(\ln(x)\) vorkommt, den du nicht ausmultiplizieren kannst. Prüfe darum zuerst, ob sich das Produkt vereinfachen lässt.
Zwei Wege, ein Ergebnis, \(f(x)=(x+2)(x+5)\)
Mit der Produktregel: \(u'v+uv'=1\cdot(x+5)+(x+2)\cdot 1=2x+7\). Mit Ausmultiplizieren: \(x^2+7x+10\) hat die Ableitung \(2x+7\). Beide Wege sind kurz, bei zwei Klammern aus Summen darfst du wählen. Bei mehr Gliedern spart das Ausmultiplizieren oft Fehler, bei \(e^x\) oder \(\ln(x)\) geht es nur mit der Produktregel.
Faktor statt Produkt, \(f(x)=5\cdot(x^2+1)\)
Die \(5\) ist eine Zahl, keine Funktion mit \(x\). Die Faktorregel gibt \(f'(x)=5\cdot 2x=10x\). Mit der Produktregel käme dasselbe heraus, \(0\cdot(x^2+1)+5\cdot 2x\), aber mit mehr Schreibarbeit.
Drei Faktoren
Bei \(u\cdot v\cdot w\) leitest du jeden Faktor einmal ab und lässt die anderen stehen: \((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\). Oft ist es kürzer, zuerst zwei Faktoren auszumultiplizieren.