Quotientenregel
Voraussetzung: Produktregel
Die bisherigen Regeln reichen nicht, wenn die Funktion ein Bruch ist, bei dem \(x\) im Nenner vorkommt, etwa \(\frac{x+1}{x-2}\) oder \(\frac{\ln(x)}{x^2+1}\). Man könnte versuchen, Zähler und Nenner einzeln abzuleiten und den Bruch der Ableitungen zu bilden. Das ist falsch, wie ein einfaches Beispiel zeigt: \(\frac{x^2}{x}=x\) hat die Ableitung \(1\), aber der Bruch der Ableitungen ist \(\frac{2x}{1}=2x\).
Die richtige Regel heißt Quotientenregel. Für \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) gilt
\[ f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^2}. \]
Im Zähler steht zuerst die Ableitung des Zählers mal \(v\), dann ein Minus, dann \(u\) mal die Ableitung des Nenners. Im Nenner steht \(v\) im Quadrat. Die Herleitung brauchst du jetzt nicht, du kannst die Regel einfach anwenden. Sie folgt, wenn man \(\frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}\) schreibt und mit Produkt- und Kettenregel ableitet. Die Kettenregel kommt auf der übernächsten Karte. Das gibt \(u'v^{-1}-uv'v^{-2}\), und auf den gemeinsamen Nenner \(v^2\) gebracht steht dort die Formel.
Der Ablauf hat vier Schritte. Du legst \(u\) und \(v\) fest. Du bildest \(u'\) und \(v'\), die Ableitungen der Grundfunktionen schlägst du in der Tabelle auf der Karte Ableitungsregeln nach. Du setzt in \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) ein. Du fasst den Zähler zusammen. Den Nenner lässt du meist als \(v^2\) stehen.
Nicht jeder Bruch braucht die Quotientenregel, und oft führt ein anderer Weg viel schneller zum Ziel. Steht im Nenner nur ein Glied, etwa \(x\) oder \(x^2\), teilst du den Zähler auf und leitest Summanden ab: \(\frac{x^2+3}{x}=x+3x^{-1}\). Lässt sich der Bruch kürzen, kürzt du zuerst: \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\). Steht im Nenner eine Summe wie \(x+1\), ist die Quotientenregel der kürzeste Weg. Prüfe darum zuerst, ob sich der Bruch vereinfachen lässt.
Kürzen statt Quotientenregel, \(f(x)=\frac{x^3+4x}{x}\)
Mit der Quotientenregel: \(u'=3x^2+4\), \(v'=1\), also \(\frac{(3x^2+4)x-(x^3+4x)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^3}{x^2}=2x\). Mit Kürzen: \(\frac{x^3+4x}{x}=x^2+4\), die Ableitung ist \(2x\). Das Kürzen ist viel kürzer. Es braucht nur eine Umformung und die Potenzregel.
Aufteilen statt Quotientenregel, \(f(x)=\frac{x^2+3}{x}\)
Der Nenner ist ein einzelnes Glied. Du schreibst \(\frac{x^2+3}{x}=x+3x^{-1}\). Die Ableitung ist \(1-3x^{-2}=1-\frac{3}{x^2}\). Mit der Quotientenregel kommt dasselbe heraus, \(\frac{2x\cdot x-(x^2+3)}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}\), aber mit mehr Schreibarbeit.
Bruch als Produkt
Jeder Bruch lässt sich als Produkt mit negativer Potenz schreiben, \(\frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}\). Dann brauchst du Produkt- und Kettenregel. Das lohnt sich nur, wenn \(v\) eine einfache Potenz ist. Bei einer Summe im Nenner ist die Quotientenregel kürzer.