Differentialquotient
Voraussetzung: Differenzenquotient
Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Sekante, der Geraden durch zwei Punkte der Kurve. Rücken die beiden Punkte zusammen, wird die Sekante zur Tangente. Die Steigung dieser Tangente an einer Stelle \(x_0\) heißt Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\). Sie sagt, wie schnell sich \(f\) dort gerade ändert.
Du nennst den Abstand der beiden Stellen \(h\). Der Differenzenquotient zwischen \(x_0\) und \(x_0+h\) ist
\[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \]
Der Differentialquotient ist der Wert, dem er sich nähert, wenn \(h\) gegen \(0\) geht. Man schreibt ihn \(f'(x_0)\) und liest „f Strich von \(x_0\)“.
Setzt du \(h=0\) gleich im Bruch ein, entsteht \(\frac{0}{0}\). Darum vereinfachst du den Bruch zuerst, kürzt \(h\) und lässt erst dann \(h\) gegen \(0\) gehen. Für \(f(x)=x^2\) geht das so:
\[ \begin{aligned} \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}&=\frac{2x_0h+h^2}{h}\\ &=2x_0+h\ \longrightarrow\ 2x_0. \end{aligned} \]
Für \(h\to 0\) bleibt \(2x_0\). Die Tangente an \(x^2\) hat an der Stelle \(x_0\) also die Steigung \(2x_0\).
Die Zahl \(f'(x_0)\) ist eine Steigung, kein Funktionswert und keine Stelle. Ist sie positiv, steigt \(f\) dort, ist sie negativ, fällt \(f\), und ist sie null, ist die Tangente waagerecht. Die Funktion heißt an der Stelle differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert.
Die dritte Potenz, \(f(x)=x^3\)
Es ist \((x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\). Der Differenzenquotient ist \(\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\). Für \(h\to 0\) bleibt \(3x^2\). Das Muster \(x^2\to 2x\), \(x^3\to 3x^2\) ist die Potenzregel der nächsten Karte.
Kein Differentialquotient, \(f(x)=|x|\) bei \(x_0=0\)
Der Differenzenquotient ist \(\frac{|h|}{h}\). Für \(h>0\) ist er \(1\), für \(h<0\) ist er \(-1\). Er nähert sich von rechts \(1\) und von links \(-1\), also gibt es keinen Grenzwert. Die Funktion hat dort einen Knick und ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Wofür du das brauchst
In der Klausur leitest du meist mit den Ableitungsregeln der nächsten Karte ab. Der Grenzwert erklärt, woher diese Regeln kommen und was \(f'(x_0)\) bedeutet: die Steigung der Tangente und die momentane Änderungsrate.