Differenzenquotient
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Der Differenzenquotient misst, wie stark sich ein Funktionswert zwischen zwei Stellen ändert. Er ist der erste Schritt zur Ableitung, denn die Ableitung entsteht, wenn die beiden Stellen zusammenrücken. Du brauchst dafür nur, Zahlen in eine Funktion einzusetzen und Brüche auszurechnen.
Die Funktion \(f\) hat an zwei Stellen \(x_0\) und \(x_1\) die Werte \(f(x_0)\) und \(f(x_1)\). Der Funktionswert ändert sich um \(f(x_1)-f(x_0)\), die Stelle um \(x_1-x_0\). Die Änderung pro Einheit von \(x\) bekommst du, wenn du die erste Änderung durch die zweite teilst:
\[\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.\]
Das ist die Steigung der Geraden durch die Punkte \((x_0,f(x_0))\) und \((x_1,f(x_1))\). Im Steigungsdreieck dieser Geraden ist \(f(x_1)-f(x_0)\) die Höhe und \(x_1-x_0\) die Breite.
Warum bei einer Geraden immer dasselbe herauskommt: Für \(f(x)=ax+b\) ist
\[ \begin{aligned} f(x_1)-f(x_0)&=ax_1+b-(ax_0+b)\\ &=a(x_1-x_0). \end{aligned} \]
Der Faktor \(x_1-x_0\) kürzt sich weg, und es bleibt \(a\) für jedes Stellenpaar. Gehst du eine Einheit nach rechts, steigt der Funktionswert um \(a\). Bei einer Kurve ist das anders. Dort hängt der Wert davon ab, welche zwei Stellen du wählst.
Die Reihenfolge der beiden Stellen ist egal, solange sie oben und unten dieselbe ist. Tauschst du \(x_0\) und \(x_1\), wechseln Zähler und Nenner zugleich das Vorzeichen, und der Wert bleibt gleich.
Dieselbe Funktion zwischen den Stellen 2 und 3
Bei \(x=2\) hat \(f\) den Wert 4, bei \(x=3\) den Wert 9. Der Funktionswert ändert sich um \(9-4=5\), die Stelle um \(3-2=1\). Der Differenzenquotient ist 5. Zwischen 4 und 7 war er 11. Die Kurve ist an verschiedenen Stellen verschieden steil.