Die Elastizität sagt, um wie viel Prozent f sich ändert, wenn x um etwa 1 Prozent steigt. Dazu: Elastizität
Voraussetzung: Regeln kombinieren
Die Ableitung sagt, um wie viele Einheiten sich \(f\) ändert, wenn \(x\) um eine Einheit wächst. Das hängt von den Einheiten ab: Eine Änderung um \(1\) Euro ist bei einem Preis von \(2\) Euro viel und bei \(2000\) Euro wenig. Die Elastizität misst darum in Prozent. Sie vergleicht die relative Änderung von \(f\) mit der relativen Änderung von \(x\).
Bei einer Änderung von \(x\) auf \(x+\Delta x\) ändert sich \(f\) um \(\Delta f\). Die relative Änderung ist jeweils die Änderung geteilt durch den Ausgangswert:
\[ \varepsilon=\frac{\Delta f/f}{\Delta x/x}=\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot\frac{x}{f}. \]
Lässt du \(\Delta x\) gegen \(0\) gehen, wird aus \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) die Ableitung. Das ist die Punktelastizität:
\[ \varepsilon(x_0)=f'(x_0)\cdot\frac{x_0}{f(x_0)}. \]
Die Formel gilt nur, wenn \(x_0\neq 0\) und \(f(x_0)\neq 0\) sind, denn durch beide Größen wird geteilt.
Steigt \(x\) um \(1\,\%\), ändert sich \(f(x)\) um etwa \(\varepsilon\,\%\). Das Vorzeichen zeigt die Richtung. Ist \(\varepsilon>0\), gehen \(x\) und \(f\) in dieselbe Richtung, ist \(\varepsilon<0\), in entgegengesetzte. Der Betrag \(|\varepsilon|\) zeigt die Stärke. Bei \(|\varepsilon|>1\) reagiert \(f\) überproportional, die Funktion heißt elastisch. Bei \(|\varepsilon|<1\) reagiert sie unterproportional, sie heißt unelastisch. Bei \(|\varepsilon|=1\) reagiert sie proportional.
Der wichtigste Fall in den Wirtschaftswissenschaften ist die Preiselastizität der Nachfrage. Die Nachfrage \(x(p)\) hängt vom Preis \(p\) ab, und es gilt \(\varepsilon(p)=x'(p)\cdot\frac{p}{x(p)}\). Weil die Nachfrage mit steigendem Preis meist sinkt, ist \(x'(p)<0\) und die Preiselastizität negativ.
Eine Potenzfunktion, \(f(x)=x^n\)
Es ist \(f'(x)=nx^{n-1}\) und damit \(\varepsilon(x)=nx^{n-1}\cdot\frac{x}{x^n}=n\). Die Elastizität einer Potenzfunktion ist überall dieselbe Zahl, nämlich der Exponent. Für \(f(x)=x^3\) steigt \(f\) bei \(1\,\%\) mehr \(x\) immer um etwa \(3\,\%\).
Wann ist die Nachfrage proportional elastisch?
Für \(x(p)=a-bp\) ist \(\varepsilon(p)=\frac{-bp}{a-bp}\). Der Betrag ist \(1\), wenn \(bp=a-bp\) gilt, also bei \(p=\frac{a}{2b}\). Bei kleineren Preisen ist die Nachfrage unelastisch, bei größeren elastisch.
Bogenelastizität
Hast du keine Funktion, sondern zwei Beobachtungen, rechnest du mit den Änderungen: \(\varepsilon=\frac{\Delta x/x_0}{\Delta p/p_0}\). Sinkt die Nachfrage von \(100\) auf \(90\), während der Preis von \(10\) auf \(11\) steigt, ist \(\varepsilon=\frac{-10/100}{1/10}=-1\).