Extrem- und Wendepunkte
Voraussetzung: Zweite und dritte Ableitung
Ein Hochpunkt ist eine Stelle, an der die Kurve lokal ihren größten Wert annimmt, ein Tiefpunkt eine, an der sie lokal ihren kleinsten Wert annimmt. Zusammen heißen sie Extrempunkte. Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Kurve von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Mit der Ableitung findest du alle drei, ohne den Graphen zu zeichnen.
Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt: Dort ist die Tangente waagerecht, also \(f'(x_0)=0\). Eine Lösung von \(f'(x)=0\) heißt stationäre Stelle. Nicht jede stationäre Stelle ist ein Extrempunkt, es sind zunächst nur die Kandidaten.
Hinreichende Bedingung: Gilt \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\neq 0\), entscheidet die zweite Ableitung. Ist \(f''(x_0)<0\), ist die Kurve nach unten gekrümmt, und es liegt ein Hochpunkt vor. Ist \(f''(x_0)>0\), ist sie nach oben gekrümmt, und es liegt ein Tiefpunkt vor. Ist \(f''(x_0)=0\), sagt dieser Test nichts. Dann prüfst du, ob \(f'\) an der Stelle das Vorzeichen wechselt, das zeigt die Vorzeichentabelle der nächsten Karte.
Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Krümmung das Vorzeichen wechselt, also dort, wo \(f''\) das Vorzeichen wechselt. Ein Kandidat ist jede Lösung von \(f''(x)=0\). Gilt zusätzlich \(f'''(x_0)\neq 0\), liegt dort sicher ein Wendepunkt.
Der Ablauf ist immer derselbe. Du bildest \(f'\) und löst \(f'(x)=0\). Du bildest \(f''\) und prüfst sein Vorzeichen an jeder stationären Stelle. Den Funktionswert des Punktes bekommst du, wenn du die Stelle in \(f\) einsetzt. Für Wendepunkte löst du \(f''(x)=0\) und prüfst \(f'''\).
Eine Parabel, \(f(x)=x^2-4x+7\)
Es ist \(f'(x)=2x-4\), also \(x=2\). Wegen \(f''(x)=2>0\) liegt dort ein Tiefpunkt, und \(f(2)=3\). Ein Wendepunkt kommt nicht vor, denn \(f''\) ist nie null.
Waagerechte Tangente ohne Extremum, \(f(x)=x^3\)
Es ist \(f'(x)=3x^2\), also \(x=0\), und \(f''(0)=0\). Der Test mit \(f''\) sagt nichts. Es ist \(f'''(0)=6\neq 0\), also liegt bei \(x=0\) ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente und kein Extrempunkt. Das Vorzeichen von \(f'\) wechselt dort nicht.
Lokal und global
Ein lokaler Extrempunkt ist nur in seiner Umgebung der größte oder kleinste Wert. Der größte Wert der ganzen Funktion kann ein anderer sein. Ist \(f\) überall nach unten gekrümmt (\(f''<0\)) und gilt \(f'(x_0)=0\), ist \(x_0\) auch ein globales Maximum.