Ableitungsregeln
Voraussetzung: Differentialquotient
Den Differentialquotienten musst du nicht jedes Mal ausrechnen. Für die wichtigen Funktionen gibt es Regeln, mit denen du die Ableitung direkt hinschreibst. Sie folgen alle aus dem Grenzwert der letzten Karte. Du leitest einen Term Glied für Glied ab.
Der Weg hat drei Schritte. Erst kommen die Ableitungen der Grundfunktionen. Sie stehen in der Tabelle, du schlägst sie nach. Dann kommen die Regeln, die eine zusammengesetzte Funktion auf diese Grundfunktionen zurückführen. Zuletzt leitest du die zusammengesetzte Funktion ab, indem du die Regeln anwendest und die Tabelle benutzt.
| Funktion \(f(x)\) | Ableitung \(f'(x)\) |
|---|---|
| Zahl \(c\) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(n\,x^{n-1}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln x\), für \(x\gt 0\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(a^x\), für \(a\gt 0\) | \(\ln(a)\cdot a^x\) |
| \(\log_a x\), für \(a\gt 0\), \(a\neq 1\) | \(\frac{1}{x\ln a}\) |
| \(\tan x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) |
Die Tabelle gilt für jede dieser Funktionen, wenn nur \(x\) darin steht. Alles andere führst du mit den Regeln auf sie zurück, und die Tabelle brauchst du auf den nächsten Karten immer wieder.
Die wichtigste Regel ist die Potenzregel. Aus der Rechnung für \(x^2\) und \(x^3\) ergibt sich das Muster: Der Exponent wird zum Faktor, und im Exponenten steht eine Zahl weniger.
\[ (x^n)'=n\cdot x^{n-1}. \]
Aus \(x^3\) wird \(3x^2\), aus \(x^5\) wird \(5x^4\), aus \(x\) wird \(1\).
Drei weitere Regeln lassen dich beliebig lange Summen ableiten. Die Konstantenregel sagt: Eine Zahl allein hat die Ableitung \(0\), denn ihr Graph ist waagerecht. Die Faktorregel sagt: Ein Faktor vor dem Term bleibt stehen, \((c\cdot f)'=c\cdot f'\). Die Summenregel sagt: Eine Summe oder Differenz leitest du Glied für Glied ab, \((f+g)'=f'+g'\).
Zwei Grundfunktionen brauchst du außerdem. Die e-Funktion bleibt bei der Ableitung sie selbst, \((e^x)'=e^x\). Der natürliche Logarithmus hat den Kehrwert als Ableitung, \((\ln x)'=\frac{1}{x}\) für \(x>0\). Die Potenzregel gilt nur, wenn \(x\) in der Basis steht. Bei \(e^x\) steht \(x\) im Exponenten.
Wurzel und Bruch als Potenz
Die Potenzregel gilt auch für andere Exponenten. Es ist \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), also \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Es ist \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), also \(\left(\frac{1}{x}\right)'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\). Schreibe zuerst als Potenz, dann leite ab.
Klammern ausmultiplizieren, \(f(x)=(x+1)(x-2)\)
Bis zur Produktregel multiplizierst du aus: \(f(x)=x^2-x-2\). Dann ist \(f'(x)=2x-1\). Das Produkt der Ableitungen wäre \(1\cdot 1=1\) und ist falsch.
Woher die seltenen Zeilen der Tabelle kommen
Die Zeilen für \(a^x\), \(\log_a x\) und \(\tan x\) musst du nicht auswendig herleiten, aber so entstehen sie. Es ist \(a^x=e^{x\ln a}\), und die Kettenregel einer späteren Karte gibt \(\ln(a)\cdot a^x\). Es ist \(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\), und \(\frac{1}{\ln a}\) ist eine Zahl, also bleibt \(\frac{1}{x\ln a}\). Es ist \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), und die Quotientenregel gibt \(\frac{1}{\cos^2 x}\). Die Faktor- und die Summenregel gelten für alle Zeilen der Tabelle wie bei den anderen Funktionen.