Vorzeichentabelle der Ableitung
Voraussetzung: Extrem- und Wendepunkte
Die Ableitung \(f'\) sagt, wie \(f\) verläuft. Ist \(f'(x)>0\), hat die Tangente eine positive Steigung, und \(f\) steigt. Ist \(f'(x)<0\), fällt \(f\). Ändert \(f'\) irgendwo das Vorzeichen, wechselt \(f\) dort von steigend zu fallend oder umgekehrt. Eine Vorzeichentabelle hält das fest, ohne dass du den Graphen zeichnen musst.
Das Vorzeichen von \(f'\) kann sich nur an einer Nullstelle von \(f'\) ändern, denn dazwischen ist \(f'\) stetig und überspringt die Null nicht. Darum teilen die Nullstellen von \(f'\) die Zahlengerade in Intervalle, in denen \(f'\) ein festes Vorzeichen hat. Dieses Vorzeichen findest du mit einem Testwert aus jedem Intervall.
Der Ablauf hat fünf Schritte. Du bildest \(f'\). Du suchst die Nullstellen von \(f'\). Du wählst aus jedem Intervall einen Testwert und rechnest sein Vorzeichen aus. Du trägst die Vorzeichen in die Tabelle ein. Du liest den Verlauf ab.
Wechselt \(f'\) bei einer Nullstelle von plus nach minus, steigt \(f\) erst und fällt dann. Dort liegt ein Hochpunkt. Wechselt \(f'\) von minus nach plus, fällt \(f\) erst und steigt dann. Dort liegt ein Tiefpunkt.
Bleibt das Vorzeichen bei einer Nullstelle gleich, steigt oder fällt \(f\) auf beiden Seiten weiter. Die Tangente ist dort waagerecht, aber es ist kein Extrempunkt. Man nennt so eine Stelle einen Sattelpunkt, sie ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Das passiert bei einer doppelten Nullstelle von \(f'\).
| Stelle | \(f'(x)\) | \(f\) |
|---|---|---|
| \(x\lt 1\) | \(+\) | steigt |
| \(x=1\) | \(0\) | Hochpunkt |
| \(1\lt x\lt 3\) | \(-\) | fällt |
| \(x=3\) | \(0\) | Tiefpunkt |
| \(x\gt 3\) | \(+\) | steigt |
Ein Sattelpunkt, \(f(x)=x^3\)
Es ist \(f'(x)=3x^2\) mit der Nullstelle \(x=0\). Links ist \(f'(-1)=3\), rechts ist \(f'(1)=3\), beides positiv. Das Vorzeichen wechselt nicht, \(f\) steigt auf beiden Seiten. Bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Mit Minus vor der Klammer, \(f'(x)=-(x-2)(x-5)\)
Ohne das Minus wäre das Vorzeichen \(+,-,+\). Mit dem Minus kehrt es sich um: \(-,+,-\). Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von minus nach plus, dort liegt ein Tiefpunkt. Bei \(x=5\) wechselt es von plus nach minus, dort liegt ein Hochpunkt.
Monotonie in Worten
Ist \(f'\geq 0\) auf einem Intervall, ist \(f\) dort monoton wachsend. Ist \(f'\leq 0\), ist \(f\) monoton fallend. Ist \(f'>0\) bis auf einzelne Stellen, ist \(f\) streng monoton wachsend. Für das Beispiel gilt: Auf \(x\leq 1\) und auf \(x\geq 3\) wächst \(f\), auf \(1\leq x\leq 3\) fällt \(f\).