Binomische Formeln ausmultiplizieren
Voraussetzung: Potenz, Basis, Exponent
Hier lernst du, ein Klammerquadrat wie \((x+5)^2\) als Summe ohne Klammern zu schreiben. Später brauchst du dieselben Formeln in die andere Richtung. Dann machst du aus einer Summe ein Produkt und liest daran Nullstellen ab.
Zuerst klärst du, was das Quadrat einer Klammer bedeutet.
Das Quadrat einer Klammer ist die Klammer mal sich selbst: \((x+5)^2=(x+5)(x+5)\). Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten multipliziert. Dafür gilt das Distributivgesetz. Es entstehen vier Produkte, die diese Tabelle ordnet:
\[ \begin{array}{c|cc} \cdot & x & 5\\ \hline x & x\cdot x & x\cdot 5\\ 5 & 5\cdot x & 5\cdot 5 \end{array} \]
Die vier Felder sind \(x^2\), \(5x\), \(5x\) und \(25\). Die beiden mittleren Produkte sind gleich. Du fasst sie zusammen:
\[ (x+5)^2=x^2+5x+5x+25=x^2+10x+25. \]
Mit beliebigen Zahlen oder Termen \(a\) und \(b\) rechnest du genauso. Das Ergebnis ist die erste binomische Formel. Sie spart dir die Tabelle, denn du kannst sie direkt anwenden:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Der mittlere Term \(2ab\) entsteht aus den beiden gemischten Produkten \(a\cdot b\) und \(b\cdot a\).
Bei einer Differenz kommt ein Minus dazu. Die gemischten Produkte sind \(a\cdot(-b)\) und \((-b)\cdot a\). Beide haben den Wert \(-ab\), zusammen sind es \(-2ab\). Das letzte Produkt ist \((-b)\cdot(-b)\).
Minus mal Minus ergibt Plus, also ist das letzte Produkt \(b^2\):
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Bei einem Produkt aus Summe und Differenz sind die gemischten Produkte \(-ab\) und \(+ab\).
Sie heben sich auf, deshalb hat die dritte Formel keinen mittleren Term:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2. \]
Dieselbe Formel mit einer Differenz, \((x-4)^2\)
Hier ist \(a=x\) und \(b=4\). Die gemischten Produkte sind \(x\cdot(-4)\) und \((-4)\cdot x\), zusammen \(-8x\). Das letzte Produkt ist \((-4)\cdot(-4)=16\) und damit positiv. Also ist \((x-4)^2=x^2-8x+16\). Das Minuszeichen vor \(8x\) gehört zur Formel. Ob \(-8x\) für ein bestimmtes \(x\) positiv oder negativ ist, hängt von \(x\) ab.
Ein Vorfaktor vor \(x\), \((2x+5)^2\)
Hier ist \(a=2x\) und \(b=5\). Du quadrierst den ganzen ersten Summanden: \((2x)^2=4x^2\). Der mittlere Term ist \(2\cdot 2x\cdot 5=20x\), das letzte Glied ist \(5^2=25\). Also ist \((2x+5)^2=4x^2+20x+25\).
Kein Fall für die Formeln, \((x+2)(x+5)\)
Hier stehen zwei verschiedene Summen. Es ist weder ein Quadrat noch Summe mal Differenz. Multipliziere trotzdem jeden Summanden mit jedem: \(x\cdot x+x\cdot 5+2\cdot x+2\cdot 5=x^2+7x+10\). Die vier Produkte funktionieren immer. Die binomischen Formeln sind nur Abkürzungen für drei Sonderfälle.