Quadratische Ergänzung
Voraussetzung: Binomische Formeln faktorisieren
Nicht jede Summe wie \(x^2+8x+5\) ist ein Quadrat. Mit der quadratischen Ergänzung schreibst du sie trotzdem als Quadrat einer Klammer plus eine Zahl, hier \((x+4)^2-11\). Diese Form brauchst du später, um quadratische Gleichungen zu lösen und um den tiefsten oder höchsten Punkt einer Parabel zu finden.
Die Idee beginnt mit einer Summe, die schon fast ein Quadrat ist. Welche Zahl fehlt, damit \(x^2+10x\) ein Quadrat wird?
Es ist \(10=2\cdot 5\), also ist \(b=5\) die Hälfte von \(10\). Das fehlende Glied ist \(b^2=25\), und \(x^2+10x+25=(x+5)^2\). Die Regel lautet: Bilde die Hälfte der Zahl vor \(x\) und quadriere sie.
Eine gegebene Summe hat diese \(25\) meistens nicht. Du holst sie dir mit einem Trick: Du addierst \(25\) und ziehst \(25\) im selben Schritt wieder ab.
Der Wert bleibt gleich, denn \(+25-25=0\). Darum heißt der Trick Nullergänzung. So wird aus \(x^2+10x\) die Form
\[ x^2+10x=x^2+10x+25-25=(x+5)^2-25. \]
Dein Weg in vier Schritten: Bilde die Hälfte der Zahl vor \(x\). Quadriere sie. Addiere diese Zahl und ziehe sie wieder ab. Schreibe die ersten drei Glieder als Quadrat und fasse die Zahlen am Ende zusammen.
Mit Minus in der Mitte, \(x^2-6x+13\)
Die Hälfte von \(6\) ist \(3\), und \(3^2=9\). Das Minus des mittleren Terms steht in der Klammer: \(x^2-6x+13=x^2-6x+9-9+13=(x-3)^2+4\).
Ein Faktor vor \(x^2\), \(2x^2+16x+3\)
Klammere zuerst den Faktor \(2\) aus den beiden \(x\)-Gliedern aus: \(2x^2+16x+3=2(x^2+8x)+3\). In der Klammer ergänzt du mit \(16\): \(2(x^2+8x+16-16)+3=2\big((x+4)^2-16\big)+3\). Die \(-16\) wird mit \(2\) multipliziert: \(2(x+4)^2-32+3=2(x+4)^2-29\).
Eine höhere Potenz, \(x^4+10x^2+30\)
Hier ist \(a=x^2\), denn \(x^4=(x^2)^2\). Die Hälfte von \(10\) ist \(5\), und \(5^2=25\). Also ist \(x^4+10x^2+30=x^4+10x^2+25-25+30=(x^2+5)^2+5\).