Quadratische Ergänzung
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Quadratische Ergänzung
Grundregel. Für \(x^2+px+q\): \(x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\left(\frac{p}{2}\right)^2\).
Beispiel
Für \(x^2+8x+5\) ist \(\frac{p}{2}=4\) und \(4^2=16\). Du bekommst \((x+4)^2+5-16=(x+4)^2-11\).
Fälle
Steht vor \(x^2\) ein Faktor, klammerst du ihn zuerst aus den \(x\)-Gliedern aus: \(2x^2+16x+3=2(x^2+8x)+3=2(x+4)^2-29\). Bei \(x^4+px^2+q\) ist die Grundzahl \(x^2\): \(x^4+10x^2+30=(x^2+5)^2+5\).
Achtung
In die Klammer gehört die Hälfte von \(p\), nicht \(p\) selbst. Die ergänzte Zahl wird wieder abgezogen, der Rest ist \(q-\left(\frac{p}{2}\right)^2\). Steht ein Faktor vor der Klammer, wird auch die ergänzte Zahl mit ihm multipliziert.
Mein Merksatz
Wie ergänzt du x² + bx zu einem Quadrat?
Beispiel ansehen
Die Hälfte von b, quadriert, addierst du und ziehst du wieder ab. \(x^2+10x=(x+5)^2-25\), denn \(\left(\frac{10}{2}\right)^2=25\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
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Geschafft: Quadratische Ergänzung
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Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.