Binomische Formeln faktorisieren
Voraussetzung: Binomische Formeln ausmultiplizieren
Hier gehst du den Weg aus dem letzten Abschnitt rückwärts. Du erkennst eine Summe wie \(x^2+10x+25\) als binomische Formel und schreibst sie als Produkt. Das lohnt sich, weil ein Produkt genau dann null ist, wenn ein Faktor null ist. An einem Produkt liest du Nullstellen deshalb sofort ab, an einer Summe nicht.
Beim Ausmultiplizieren hast du \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) von links nach rechts benutzt. Jetzt liest du dieselben Formeln von rechts nach links:
\[ \begin{aligned} a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2,\\ a^2-2ab+b^2&=(a-b)^2,\\ a^2-b^2&=(a+b)(a-b). \end{aligned} \]
Die eigentliche Arbeit ist, die Formel in der Summe zu erkennen. Dafür stellst du zwei Fragen. Erstens: Besteht die Summe aus zwei Quadraten, einem mit \(x\) und einem Zahlenquadrat? Zweitens: Ist der mittlere Term das Doppelte des Produkts der beiden Grundzahlen?
Wende die beiden Fragen gleich an.
Bei \(x^2+10x+25\) lautet die Antwort zweimal ja. Es ist \(x^2=x\cdot x\) und \(25=5\cdot 5\), und \(2\cdot x\cdot 5=10x\). Also ist \(a=x\) und \(b=5\):
\[ x^2+10x+25=(x+5)^2. \]
Als Nächstes suchst du die Zahl in der Klammer.
Zur Probe multiplizierst du die Klammer wieder aus. Kommt die Summe heraus, stimmt die Faktorisierung.
Nicht jede Summe passt zu einer Formel.
Mit Minus in der Mitte, \(x^2-6x+9\)
Das Minus des mittleren Terms steht in der Klammer. Es ist \(x^2=x\cdot x\) und \(9=3\cdot 3\), und \(2\cdot x\cdot 3=6x\). Also ist \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Zur Probe: \((x-3)(x-3)=x^2-3x-3x+9=x^2-6x+9\).
Ein Faktor vor \(x^2\), \(2x^2+12x+18\)
Hier steht vor \(x^2\) der Faktor \(2\). Dann ist \(a=x\) noch nicht möglich. Klammere zuerst den gemeinsamen Faktor aus: \(2x^2+12x+18=2(x^2+6x+9)\). In der Klammer steht die erste Formel mit \(a=x\) und \(b=3\). Also ist \(2x^2+12x+18=2(x+3)^2\). Die einzige Nullstelle ist \(x=-3\).
Eine höhere Potenz, \(x^4-2x^2+1\)
Hier ist \(a=x^2\) und \(b=1\), denn \(x^4=(x^2)^2\) und \(2\cdot x^2\cdot 1=2x^2\). Also ist \(x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\). In der Klammer steht wieder eine dritte Formel, \(x^2-1=(x+1)(x-1)\). Damit ist \(x^4-2x^2+1=\big((x+1)(x-1)\big)^2\). Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\).