Was ist ein Bruch?
Drei gleich große Brote werden gleichmäßig auf vier Personen verteilt, jedes Brot in vier gleich große Stücke.
Eine Person bekommt aus jedem der drei Brote ein Viertel. Wie viele Viertel sind das zusammen?
Richtig!
Drei Brote aufgeteilt auf vier Personen ist \(3\div 4=\frac{3}{4}\).
Ein Bruchstrich bedeutet Division: \(\frac{a}{b}=a:b\), wobei \(b\neq 0\) sein muss. Oben steht der Zähler, unten der Nenner.
Bei diesen Broten nennt der Nenner die Stücke, der Zähler zählt sie. Der Nenner 4 nennt die Viertel eines Brotes. Der Zähler 3 zählt diese Viertel.
- \(\frac{3}{4}\) liegt links von 1, denn drei Viertel sind weniger als ein Ganzes.
- \(\frac{4}{4}\) liegt auf der 1: vier Viertel sind ein Ganzes.
- \(\frac{5}{4}\) liegt rechts von 1, ein Viertel mehr als ein Ganzes.
- \(\frac{4}{2}=2\), vier Halbe sind zwei Ganze.
Bei diesen Broten ist 0 im Zähler erlaubt. \(\frac{0}{4}\) heißt: Die Person erhält null Viertel Brot, also kein Stück. Der Bruch ist 0.
Division durch null ist nicht definiert. Bei \(\frac{4}{0}\) gibt es kein Ergebnis, weil keine Zahl mal 0 die 4 ergibt.
Bei \(\frac{0}{0}\) hat die Gleichung \(0\cdot x=0\) jede Zahl als Lösung. Es gibt also kein eindeutiges Ergebnis, und \(\frac{0}{0}\) ist nicht definiert.
Dasselbe mit Variablen
Beim Teilen durch 1 bleibt die Zahl unverändert: \(\frac{x}{1}=x\). Dieselbe Zahl oben und unten: \(\frac{x}{x}=1\), sobald \(x\neq 0\) ist.
Zähler und Nenner
Wenn wir dasselbe Ganze in mehr gleich große Teile zerlegen, wird jedes einzelne Teil kleiner. Bei gleichem Zähler und positivem Nenner werden die Stücke kleiner, wenn der Nenner größer wird. \(\frac{1}{6}\) ist kleiner als \(\frac{1}{3}\). Tauschst du Zähler und Nenner, wird aus \(\frac{3}{4}\) der Bruch \(\frac{4}{3}\).