Produkt von Brüchen
Voraussetzung: Brüche kürzen
Zwei Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst. Anders als beim Addieren brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Voraussetzung ist nur, dass ein Bruch eine Division ist und dass kein Nenner \(0\) sein darf.
Der Grund liegt in dieser Division. Ein Bruch \(\frac{a}{b}\) ist \(a\div b\), und beim Multiplizieren darfst du die Faktoren umordnen und zusammenfassen:
\[ \begin{aligned}\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}&=(a\div b)\cdot(c\div d)\\&=(a\cdot c)\div(b\cdot d)=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.\end{aligned} \]
Mal heißt von
Das Produkt zweier Brüche lässt sich als „von“ lesen. \(\frac{1}{2}\) von \(\frac{1}{3}\) einer Pizza ist \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\) der Pizza. Das Ergebnis ist kleiner als jeder Faktor, wenn beide Brüche kleiner als \(1\) sind. Das hilft dir bei der Probe: Kommt etwas Größeres heraus, hast du dich verrechnet.
Ganze Zahlen im Produkt
Eine ganze Zahl hat den Nenner \(1\), denn \(3=\frac{3}{1}\). Daher ist \(3\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{1}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}\). Nur der Zähler wird mit der ganzen Zahl multipliziert, der Nenner bleibt, denn \(5\cdot 1=5\).
Am Ende kürzen
Das Produkt ist oft noch nicht vollständig gekürzt. Du teilst Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, bis kein gemeinsamer Teiler größer als \(1\) mehr bleibt. Du darfst auch Schritt für Schritt kürzen, \(\frac{12}{72}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). Die nächste Karte zeigt, wie du schon vor dem Multiplizieren kürzt. Dann rechnest du mit kleineren Zahlen.