Kehrwert
Voraussetzung: Produkt von Brüchen
Durch einen Bruch teilen heißt, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren. Der Kehrwert von \(\frac{a}{b}\) entsteht, indem du Zähler und Nenner vertauschst, er ist also \(\frac{b}{a}\). Das geht nur, wenn weder \(a\) noch \(b\) gleich \(0\) ist. Du brauchst dafür das Produkt von Brüchen aus der Karte davor.
Der Grund: Durch eine Zahl \(x\) teilen heißt, mit \(\frac{1}{x}\) zu multiplizieren. Der Kehrwert von \(\frac{c}{d}\) ist \(\frac{d}{c}\), denn das Produkt \(\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}\) ist \(1\). Deshalb gilt
\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}. \]
Wie oft passt das hinein?
Eine Division fragt, wie oft der zweite Wert in den ersten passt. Ein Viertel passt in eine Hälfte zweimal, denn zwei Viertel sind eine Hälfte. Rechnerisch ist \(\frac{1}{2}\div\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot 4=2\). Das Ergebnis ist hier größer als \(1\), weil der zweite Bruch kleiner als der erste ist. Das ist eine Probe: Teilst du durch eine Zahl unter \(1\), wird das Ergebnis größer.
Ganze Zahlen
Eine ganze Zahl hat den Nenner \(1\), ihr Kehrwert ist also \(\frac{1}{n}\). Durch eine ganze Zahl teilen heißt, den Nenner mit ihr zu multiplizieren: \(\frac{3}{5}\div 2=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}\). Steht die ganze Zahl vorn, rechnest du \(6\div\frac{3}{4}=6\cdot\frac{4}{3}=8\).
Doppelbruch
Ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner wieder Brüche stehen, heißt Doppelbruch. Der Hauptbruchstrich ist ein Geteilt-Zeichen, also gilt \(\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\). So wird jeder Doppelbruch zu einem einzelnen Bruch.