Rechenregeln für Determinanten
Voraussetzung: Determinante einer 3x3-Matrix
Eine Determinante musst du nicht immer ausrechnen. Wenn du die Determinanten einzelner Matrizen kennst, folgt die von Produkten, Transponierten oder Inversen aus Regeln, und auch die Wirkung von Umformungen im Gauß-Verfahren lässt sich vorhersagen. Das spart Rechenarbeit und gehört zu den Standardfragen: Gegeben sind \(\det A\) und \(\det B\), gesucht ist die Determinante eines Ausdrucks daraus. Voraussetzung ist die Determinante einer \(3\times 3\)-Matrix.
Für quadratische Matrizen gleicher Größe gilt:
- Produkt: \(\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B\).
- Transponierte: \(\det A^T=\det A\).
- Inverse: \(\det A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\), denn aus \(A\cdot A^{-1}=E\) folgt \(\det A\cdot\det A^{-1}=\det E=1\).
- Vielfaches einer Zeile: Wird eine Zeile (oder Spalte) mit \(\lambda\) multipliziert, wird die Determinante mit \(\lambda\) multipliziert.
- Ganze Matrix: Bei einer \(n\times n\)-Matrix sind alle \(n\) Zeilen betroffen, also \(\det(\lambda A)=\lambda^n\cdot\det A\).
Die Regeln für Umformungen der Zeilen:
- Zwei Zeilen (oder Spalten) vertauschen: Die Determinante wechselt das Vorzeichen, der Betrag bleibt.
- Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren: Die Determinante bleibt unverändert. Das ist der Schritt des Gauß-Verfahrens.
- Eine Nullzeile oder zwei Zeilen, die Vielfache voneinander sind: Die Determinante ist \(0\), denn nach Abziehen des Vielfachen entsteht eine Nullzeile.
- Dreiecksmatrix: Die Determinante ist das Produkt der Einträge der Hauptdiagonalen.
Die Determinante einer Summe ist dagegen keine Summe der Determinanten. Im Allgemeinen gilt \(\det(A+B)\neq\det A+\det B\).
Es ist \(\det(A\cdot B)=4\cdot(-3)=-12\). Die Transponierte hat dieselbe Determinante, \(\det A^T=4\). Die Inverse hat den Kehrwert, \(\det A^{-1}=\frac14\). Bei \(2A\) sind alle drei Zeilen mit \(2\) multipliziert, also \(\det(2A)=2^3\cdot 4=8\cdot 4=32\). Aufpassen: Nicht \(2\cdot 4\), denn der Faktor wirkt für jede Zeile.
Ein zweites Beispiel, ein zusammengesetzter Ausdruck
Mit \(\det A=4\) und \(\det B=-3\) soll \(\det(A^{-1}\cdot B\cdot A)\) bestimmt werden. Die Determinante des Produkts ist das Produkt der drei Determinanten: \(\frac14\cdot(-3)\cdot 4=-3\). Die Determinante von \(A\) kürzt sich weg, es kommt dasselbe wie bei \(B\) heraus. Das ist kein Zufall, denn \(\det A^{-1}\) und \(\det A\) sind Kehrwerte voneinander.
Eine Dreiecksmatrix
Für \(\begin{pmatrix}2&5&1\\0&3&7\\0&0&4\end{pmatrix}\) ist die Determinante das Produkt der Diagonale, \(2\cdot 3\cdot 4=24\). Nach Sarrus kommst du auf dasselbe: Außer der Hauptdiagonalen enthält jedes Produkt eine Null. Das nutzt das Gauß-Verfahren: Bringst du eine Matrix durch Zeilen-Additionen in Dreiecksform, bleibt die Determinante gleich und liegt als Produkt der Diagonale vor.