Determinante einer 3x3-Matrix
Voraussetzung: Determinante einer 2x2-Matrix
Die Determinante einer \(3\times 3\)-Matrix ist wie bei \(2\times 2\) eine einzige Zahl, die über die eindeutige Lösbarkeit entscheidet: Ist sie ungleich null, ist die Matrix regulär, hat also eine Inverse, und ein zugehöriges Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Bei null ist die Matrix singulär. Für \(3\times 3\) gibt es die Regel von Sarrus, ein einfaches Rechenschema aus sechs Produkten. Du brauchst sie für Gleichungssysteme mit drei Unbekannten, für die Inverse und für Aufgaben mit einem Parameter. Voraussetzung ist die Determinante einer \(2\times 2\)-Matrix.
So rechnest du nach Sarrus für \(A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\):
- Hänge die erste und die zweite Spalte rechts als Hilfsspalten an die Matrix an.
- Multipliziere die drei Einträge entlang jeder der drei fallenden Diagonalen, von links oben nach rechts unten: \(a\cdot e\cdot i\), \(b\cdot f\cdot g\) und \(c\cdot d\cdot h\). Addiere diese drei Produkte.
- Multipliziere die drei Einträge entlang jeder der drei steigenden Diagonalen, von links unten nach rechts oben: \(g\cdot e\cdot c\), \(h\cdot f\cdot a\) und \(i\cdot d\cdot b\). Addiere auch diese drei Produkte.
- Ziehe die zweite Summe von der ersten ab.
\[ \det A=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi. \]
Warum gerade diese sechs Produkte? Die Determinante ist die Summe aller Produkte, die aus jeder Zeile und jeder Spalte genau einen Eintrag nehmen, mit einem Vorzeichen. Bei \(3\times 3\) gibt es genau sechs solche Auswahlen, und die Diagonalen der Sarrus-Regel treffen alle sechs. Die drei fallenden bekommen Plus, die drei steigenden Minus. Bei \(4\times 4\) gäbe es vierundzwanzig Auswahlen, und die Diagonalen reichen nicht mehr aus. Darum gilt die Regel nur für \(3\times 3\).
Die Rechnung nach Sarrus, eine Richtung je Zeile:
\[ \begin{aligned} \text{fallend: }&3\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 4+2\cdot 1\cdot 1=2\\ \text{steigend: }&2\cdot 2\cdot 4+3\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0=19\\ \det A&=2-19=-17 \end{aligned} \]
Die Determinante ist ungleich null, also ist \(A\) regulär. Das negative Vorzeichen ist kein Fehler und sagt nichts über die Lösbarkeit.
Ein zweites Beispiel, singulär
Für \(B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&5\end{pmatrix}\) rechnest du:
\[ \begin{aligned} \text{fallend: }&1\cdot 4\cdot 5+2\cdot 6\cdot 0+3\cdot 2\cdot 1=26\\ \text{steigend: }&3\cdot 4\cdot 0+1\cdot 6\cdot 1+2\cdot 2\cdot 5=26\\ \det B&=26-26=0 \end{aligned} \]
Die Matrix ist singulär. Das ist kein Zufall: Die zweite Zeile ist das Doppelte der ersten.
Eine Matrix mit Parameter
Steht in der Matrix ein Parameter \(t\), ist die Determinante ein Ausdruck in \(t\). Für \(C=\begin{pmatrix}t&1&0\\2&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}\) gilt:
\[ \begin{aligned} \det C&=t\cdot 1\cdot 3+1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1\\ &\quad-0\cdot 1\cdot 0-t\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 3\\ &=3t-t-6=2t-6 \end{aligned} \]
Die Matrix ist singulär, wenn \(2t-6=0\) gilt, also für \(t=3\).