Determinante einer 2x2-Matrix
Voraussetzung: Gleichungen umformen
Eine Matrix fasst Zahlen in Zeilen und Spalten zusammen. Zu jeder quadratischen Matrix gehört eine einzige Zahl, die Determinante. Sie beantwortet eine wichtige Frage: Ist die Matrix regulär, hat sie also eine Inverse und ein zugehöriges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, oder ist sie singulär? Du brauchst sie bald für die Hesse-Matrix, mit der du Extrempunkte unterscheidest, und später für Gleichungssysteme. Man könnte versuchen, eine Matrix durch ihre Einträge allein zu beurteilen, etwa ob einer null ist. Das reicht nicht: Eine Matrix ohne Nulleinträge kann singulär sein.
Für eine \(2\times 2\)-Matrix \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) ist die Determinante
\[ \det A=a\cdot d-b\cdot c. \]
Du multiplizierst die Hauptdiagonale, von links oben nach rechts unten, und ziehst das Produkt der Nebendiagonale ab, von rechts oben nach links unten.
Warum gerade diese Zahl? Das Gleichungssystem \(ax+by=e\), \(cx+dy=f\) lässt sich durch Eliminieren lösen. Multiplizierst du die erste Gleichung mit \(d\) und die zweite mit \(b\) und subtrahierst, bleibt \((ad-bc)\,x=de-bf\). Um nach \(x\) aufzulösen, musst du durch \(ad-bc\) teilen. Das geht nur, wenn diese Zahl nicht null ist. Genau das ist die Determinante, und darum entscheidet sie über die eindeutige Lösbarkeit.
Eine Matrix mit \(\det A\neq 0\) heißt regulär oder invertierbar. Eine Matrix mit \(\det A=0\) heißt singulär und hat keine Inverse. Bei einer singulären \(2\times 2\)-Matrix sind die beiden Zeilen Vielfache voneinander, und die beiden Spalten auch.
Die Inverse einer \(2\times 2\)-Matrix
Ist \(\det A\neq 0\), gilt \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Du vertauschst die Hauptdiagonale, wechselst die Vorzeichen der Nebendiagonale und teilst durch die Determinante. Bei \(\det A=0\) würdest du durch null teilen, darum gibt es dann keine Inverse.
Determinante und Hesse-Matrix
Bei der Hesse-Matrix \(H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}\) sind die beiden Nebendiagonaleinträge gleich. Die Determinante ist darum \(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\). Das Vorzeichen dieser Zahl unterscheidet Extrempunkte und Sattelpunkte. Die Karte zur Hesse-Matrix folgt.
Geometrische Deutung
Fasst du die beiden Spalten als Vektoren auf, ist der Betrag der Determinante die Fläche des Parallelogramms, das sie aufspannen. Bei Determinante null liegen die Vektoren auf einer Geraden, das Parallelogramm hat die Fläche null. Das ist die Geometrie hinter „singulär“.