Elastischer und unelastischer Bereich
Voraussetzung: Preiselastizität berechnen
Die Preiselastizität hängt vom Preis ab: Bei einem niedrigen Preis reagiert die Nachfrage oft kaum auf eine Preisänderung, bei einem hohen stark. In der Klausur wird gefragt, in welchem Bereich die Nachfrage elastisch oder unelastisch ist, und was das für den Umsatz bedeutet. Man könnte versuchen, einfach den Wert von \(\varepsilon\) mit \(1\) zu vergleichen. Das ist falsch, wenn \(\varepsilon\) negativ ist: Die Zahl \(-3\) ist kleiner als \(1\), aber die Nachfrage ist elastisch. Für die Einteilung zählt der Betrag \(|\varepsilon|\).
Die Einteilung stammt aus dem Tutorium. Ist \(|\varepsilon|\gt 1\), heißt die Nachfrage elastisch: Sie reagiert überproportional, ändert sich also um mehr Prozent als der Preis. Ist \(|\varepsilon|\lt 1\), heißt sie unelastisch: Sie reagiert unterproportional. Ist \(|\varepsilon|=1\), heißt sie einheitselastisch: Sie ändert sich im gleichen Prozentsatz wie der Preis.
Im Bild ist die lineare Nachfrage \(x(p)=100-2p\) gezeichnet, der Preis steht auf der senkrechten Achse. Die Elastizität ist \(\varepsilon(p)=\frac{-2p}{100-2p}=-\frac{p}{50-p}\). Beim Preis \(20\) ist \(\varepsilon=-\frac{20}{30}=-\frac{2}{3}\), der Betrag ist kleiner als \(1\): unelastisch. Beim Preis \(25\) ist \(\varepsilon=-\frac{25}{25}=-1\): einheitselastisch. Beim Preis \(40\) ist \(\varepsilon=-\frac{40}{10}=-4\), der Betrag ist größer als \(1\): elastisch. Oberhalb von \(25\) ist die Nachfrage elastisch, unterhalb unelastisch.
Den einheitselastischen Preis findest du, indem du \(|\varepsilon(p)|=1\) löst. Bei einer linearen Nachfrage \(x(p)=a-bp\) ist \(\varepsilon=\frac{-bp}{a-bp}\), und aus \(bp=a-bp\) folgt \(p=\frac{a}{2b}\). Oberhalb dieses Preises ist die Nachfrage elastisch, bis zum Höchstpreis \(\frac{a}{b}\), wo die Nachfrage null wird. Unterhalb ist sie unelastisch. Bei anderen Funktionen löst du die Gleichung \(|\varepsilon(p)|=1\) und prüfst mit einem Testwert, welcher Bereich elastisch ist.
Die Elastizität sagt auch, was mit dem Umsatz \(U(p)=p\cdot x(p)\) geschieht, wenn der Preis steigt. Im elastischen Bereich sinkt die Nachfrage um mehr Prozent, als der Preis steigt. Preis mal Menge wird kleiner: Der Umsatz sinkt. Im unelastischen Bereich sinkt die Nachfrage um weniger Prozent, Preis mal Menge wird größer: Der Umsatz steigt. Bei \(|\varepsilon|=1\) ist \(U'(p)=0\): Eine kleine Preisänderung ändert den Umsatz in erster Näherung nicht. Geht der unelastische Bereich dort in den elastischen über, liegt an dieser Stelle das Umsatzmaximum.
| Bereich | Preis steigt |
|---|---|
| elastisch | Umsatz sinkt |
| unelastisch | Umsatz steigt |
| einheitselastisch | Umsatz maximal |
Warum der Umsatz bei \(|\varepsilon|=1\) maximal ist
Der Umsatz ist \(U(p)=p\cdot x(p)\). Die Produktregel gibt \(U'(p)=x(p)+p\cdot x'(p)\). Klammere \(x(p)\) aus: \(U'(p)=x(p)\cdot\left(1+x'(p)\cdot\frac{p}{x(p)}\right)\). Der Bruch in der Klammer ist die Elastizität, also ist \(U'(p)=x(p)\cdot(1+\varepsilon)\). Ist \(\varepsilon\lt -1\), also \(|\varepsilon|\gt 1\), ist \(U'(p)\lt 0\): Der Umsatz fällt bei steigendem Preis. Ist \(-1\lt\varepsilon\lt 0\), ist \(U'(p)\gt 0\): Der Umsatz steigt. Bei \(\varepsilon=-1\) ist \(U'(p)=0\), dort liegt das Maximum.
Vollkommen elastisch und vollkommen unelastisch
Bei \(|\varepsilon|=\infty\) heißt die Nachfrage vollkommen elastisch: Die kleinste Preisänderung führt zu einer riesigen Änderung der Nachfrage. Bei \(|\varepsilon|=0\) heißt sie vollkommen unelastisch: Die Nachfrage ändert sich gar nicht, etwa bei einem lebensnotwendigen Medikament. Bei der Nachfrage \(100-2p\) geht \(|\varepsilon|\) gegen \(0\) für \(p\to 0\) und gegen \(\infty\) für \(p\to 50\).
Konstante Elastizität
Eine Potenzfunktion \(x(p)=a\,p^{-n}\) hat bei jedem Preis die Elastizität \(-n\). Man nennt sie isoelastisch, ihre Elastizität ist konstant. Sie ist auf dem ganzen Bereich elastisch (für \(n\gt 1\)), unelastisch (für \(n\lt 1\)) oder einheitselastisch (für \(n=1\)). Dann gibt es keinen Preis, bei dem sich der Bereich ändert. Für \(n\neq 1\) ist der Umsatz \(U(p)=a\,p^{1-n}\) streng steigend oder streng fallend und hat keinen größten Wert. Für \(n=1\) ist \(U(p)=a\) konstant: Jeder Preis liefert denselben Umsatz, also ist jeder Preis ein Maximum. Einheitselastisch bei einem einzelnen Preis zu sein heißt dagegen nicht, isoelastisch zu sein.