Preiselastizität berechnen
Voraussetzung: Elastizität
Ein Unternehmen setzt Preise, und es will wissen, wie stark die Kunden darauf reagieren. Steigt der Preis um einen Euro, sinkt die Nachfrage um eine bestimmte Menge. Diese Zahl hängt aber von den Einheiten ab: Ein Euro mehr ist bei einem Auto wenig, bei einem Brötchen viel. Man könnte versuchen, die Reaktion mit der Ableitung \(x'(p)\) zu beschreiben. Das ist falsch, wenn man Güter vergleichen will, denn die Ableitung nennt nur die absolute Änderung. Die Preiselastizität der Nachfrage vergleicht dagegen Prozente: Sie sagt, um wie viel Prozent sich die Nachfrage ändert, wenn der Preis um \(1\,\%\) steigt.
Die Nachfrage \(x(p)\) ist die Menge, die bei dem Preis \(p\) gekauft wird. Der Preis ist die Variable, die Nachfrage der Funktionswert. Die Elastizität der Funktion \(x\) an der Stelle \(p_0\) kennst du aus der Reihe zum Ableiten. Sie lautet hier
\[ \varepsilon=x'(p_0)\cdot\frac{p_0}{x(p_0)}. \]
Du bildest die Ableitung der Nachfragefunktion, wertest sie beim Preis \(p_0\) aus und multiplizierst mit dem Bruch aus Preis und Nachfrage. Im Zähler des Bruchs steht der Preis, im Nenner die Nachfrage. Das Ergebnis ist eine Zahl ohne Einheit.
Das Vorzeichen: Die Nachfrage sinkt in der Regel, wenn der Preis steigt. Die Ableitung \(x'(p)\) ist dann negativ, Preis und Nachfrage sind positiv. Also ist die Preiselastizität negativ. Das Minus ist keine Fehlerquelle, sondern die Aussage: Preis rauf, Nachfrage runter. Bei der Einordnung als elastisch oder unelastisch zählt der Betrag \(|\varepsilon|\).
Die Deutung: Steigt der Preis um \(1\,\%\), ändert sich die Nachfrage um etwa \(\varepsilon\,\%\). Bei \(\varepsilon=-2\) sinkt die Nachfrage um etwa \(2\,\%\). Steigt der Preis um \(q\,\%\), ändert sie sich um etwa \(q\cdot\varepsilon\,\%\). Das gilt näherungsweise, wie bei der Ableitung selbst.
Drei Arten von Nachfragefunktionen kommen oft vor. Bei der linearen Nachfrage \(x(p)=a-bp\) ist \(x'(p)=-b\), und die Elastizität \(\varepsilon=\frac{-bp}{a-bp}\) hängt vom Preis ab. Bei der Potenzfunktion \(x(p)=a\,p^{-n}\) ist \(\varepsilon=-n\) für jeden Preis, man nennt sie isoelastisch. Bei der exponentiellen Nachfrage \(x(p)=a\,e^{-bp}\) ist \(\varepsilon=-bp\).
Preis-Absatz-Funktion \(p(x)\)
Manchmal ist der Preis als Funktion der Menge gegeben, \(p(x)\), nicht die Nachfrage als Funktion des Preises. Dann ist die Preiselastizität der Kehrwert: \(\varepsilon=\frac{p(x)}{x\cdot p'(x)}\). Das folgt aus der Umkehrfunktion, denn \(x'(p)=\frac{1}{p'(x)}\). Dafür muss \(p'(x)\neq 0\) sein, sonst gibt es keine Umkehrfunktion an dieser Stelle. Beispiel: \(p(x)=50-0{,}5x\) bei \(x=40\): \(p=30\), \(p'=-0{,}5\), also \(\varepsilon=\frac{30}{40\cdot(-0{,}5)}=-1{,}5\).
Potenzfunktion, \(x(p)=\frac{200}{p^2}\)
Schreibe \(x(p)=200p^{-2}\). Die Ableitung ist \(x'(p)=-400p^{-3}\). Es folgt \(\varepsilon=-400p^{-3}\cdot\frac{p}{200p^{-2}}=-2\). Die Elastizität ist bei jedem Preis \(-2\): Eine Preissteigerung um \(1\,\%\) senkt die Nachfrage immer um etwa \(2\,\%\).
Kreuzpreis und Einkommen
Die Nachfrage hängt auch von anderen Größen ab, etwa vom Preis eines anderen Gutes oder vom Einkommen. Dafür gibt es eigene Elastizitäten, die Kreuzpreis- und die Einkommenselastizität. Sie werden wie die Preiselastizität berechnet, aber mit der Ableitung nach der jeweiligen Größe. Das lernst du bei den Funktionen mit zwei Veränderlichen.