Quotient von Fakultäten
Voraussetzung: Fakultät
Steht im Bruch eine Fakultät im Zähler und eine kleinere im Nenner, musst du die großen Fakultäten nicht ausrechnen. Die kleinere steckt als Anfang in der größeren, und dieser Anfang kürzt sich. Übrig bleibt nur das Produkt der Faktoren, die zusätzlich in der größeren stehen. Du brauchst dafür die Fakultät aus der Karte davor und das Kürzen von Brüchen.
Der Gedanke dahinter ist \(n!=n\cdot (n-1)!\), also lässt sich jede Fakultät als Produkt schreiben, das mit der kleineren endet:
\[ \frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5. \]
Wie viele Faktoren bleiben
Von \(\frac{a!}{b!}\) bleiben genau \(a-b\) Faktoren, nämlich die Zahlen von \(b+1\) bis \(a\). Das ist die Differenz der beiden Zahlen als Anzahl der Faktoren, nicht als Wert. Wer die Differenz als Wert nimmt, hat die Zahl der Faktoren mit ihrem Produkt verwechselt.
Was du nicht darfst
Du darfst \(\frac{a!}{b!}\) nicht zu \(\frac{a}{b}\) kürzen. Das Ausrufezeichen gehört zur Fakultät, und eine Fakultät ist ein Produkt vieler Zahlen, nicht eine einzige Zahl. Eine Probe mit kleinen Zahlen: \(\frac{3!}{2!}=\frac{6}{2}=3\), aber \(\frac{3}{2}\) wäre falsch.
Gleiche Fakultäten
Sind beide Fakultäten gleich, ist der Quotient \(1\), denn alles kürzt sich: \(\frac{n!}{n!}=1\). Das ist der Grenzfall von \(a-b=0\) Faktoren, und das leere Produkt ist \(1\).