Fakultät
Voraussetzung: Produkt
Die Fakultät \(n!\) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\). Sie zählt zum Beispiel, auf wie viele Arten du \(n\) verschiedene Bücher in ein Regal stellen kannst, und sie steckt im Binomialkoeffizienten. Du brauchst dafür das Produktzeichen aus der Karte davor.
\[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\dots\cdot n=\prod_{i=1}^{n} i. \]
Gesprochen wird \(n!\) als „n Fakultät“. Das Ausrufezeichen gehört zur ganzen Zahl davor und ist kein Satzzeichen.
Die Null-Fakultät
Man legt \(0!=1\) fest. Das wirkt zuerst seltsam. Der Grund ist das leere Produkt: Bei \(0!\) steht kein Faktor da, und ein Produkt mit einem leeren Produkt soll nichts ändern, so wie die Addition mit der leeren Summe nichts ändert. Die Zahl, die beim Multiplizieren nichts ändert, ist die \(1\). Darum ist \(0!=1\) und nicht \(0\).
Die Fakultät schrittweise
\(n!\) lässt sich aus der Fakultät davor bilden: \(n!=n\cdot (n-1)!\). So ist \(6!=6\cdot 5\cdot 4!=6\cdot 5\cdot 24=720\). Diese Schreibweise brauchst du, wenn Fakultäten im Bruch stehen und sich kürzen.
Wie schnell die Fakultät wächst
\(1!=1\), \(2!=2\), \(3!=6\), \(4!=24\), \(6!=720\), \(8!=40320\). Schon kleine Zahlen führen zu großen Werten. Deshalb schreibt man größere Fakultäten oft nicht aus, sondern lässt sie in einem Bruch stehen und kürzt.