Funktionswert und Definitionsbereich
Voraussetzung: Gleichungen umformen
In der Klausur ist fast alles eine Funktion: Die Kosten hängen von der Menge ab, die Nachfrage vom Preis, der Gewinn von beidem. Eine Funktion ordnet jeder erlaubten Zahl \(x\) genau eine Zahl \(y\) zu. Man schreibt \(y=f(x)\). Die Rechenvorschrift steht in \(f(x)\), das \(x\) heißt Variable. Man könnte versuchen, jede Zuordnung eine Funktion zu nennen. Das ist falsch, wie ein einfaches Beispiel zeigt: Die Zuordnung \(y^2=x\) gibt zu \(x=4\) zwei Zahlen, \(y=2\) und \(y=-2\). Bei einer Funktion gibt es zu jedem \(x\) nur einen Wert.
Der Funktionswert \(f(x_0)\) ist die Zahl, die entsteht, wenn du \(x_0\) für jedes \(x\) einsetzt. Am Graphen liest du ihn so ab: Gehe von \(x_0\) auf der \(x\)-Achse nach oben bis zur Kurve und von dort nach links zur \(y\)-Achse.
Beim Einsetzen setzt du die Zahl immer in Klammern, vor allem bei negativen Zahlen. Das Minus gehört zur Zahl, und das Quadrat gilt für die ganze Klammer. Zwei Minuszeichen hintereinander ergeben Plus. Das ist die häufigste Fehlerquelle bei Funktionswerten.
Nicht jede Zahl darf man einsetzen. Die Menge der erlaubten Zahlen heißt Definitionsbereich \(D\). Drei Einschränkungen musst du kennen.
Beim Bruch darf der Nenner nicht null sein. Bei \(\frac{1}{x-2}\) fällt \(x=2\) weg, der Definitionsbereich ist alle reellen Zahlen außer \(2\), geschrieben \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Bei der Wurzel darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein. Bei \(\sqrt{x-3}\) braucht man \(x-3\ge 0\), also \(x\ge 3\). Beim Logarithmus muss das Argument positiv sein. Bei \(\ln(x-3)\) braucht man \(x-3\gt 0\), also \(x\gt 3\). Hier gehört die \(3\) nicht dazu, denn \(\ln(0)\) gibt es nicht. Bei der Wurzel gehört die Grenze dazu, beim Logarithmus nicht.
Bei ökonomischen Funktionen kommt oft noch eine Bedingung aus dem Sachverhalt dazu. Mengen und Preise sind nicht negativ, und eine Kapazität setzt eine Obergrenze, etwa \(0\le x\le 100\).
Der Wertebereich \(W\) ist die Menge aller Funktionswerte, die vorkommen. Für \(f(x)=x^2\) ist \(W\) die Menge \(y\ge 0\), denn ein Quadrat ist nie negativ, und der Wert \(0\) wird bei \(x=0\) angenommen. Für \(e^x\) ist \(y\gt 0\), der Wert \(0\) kommt nie vor. Für \(\ln(x)\) sind es alle reellen Zahlen. Für \(\frac{1}{x}\) ist es \(y\neq 0\). Den Wertebereich findest du, indem du fragst, welche Werte überhaupt vorkommen. Gibt es einen kleinsten oder größten Wert, und wird er wirklich angenommen? Nicht jede Funktion hat einen: \(e^x\) hat keinen kleinsten Wert, \(\ln(x)\) weder einen kleinsten noch einen größten.
Zwei Bedingungen zugleich, \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}\)
Die Wurzel verlangt \(x-1\ge 0\), also \(x\ge 1\). Der Nenner verlangt \(x\neq 4\). Beide Bedingungen gelten gemeinsam: \(D\) ist \(x\ge 1\) ohne die Zahl \(4\). Du suchst für jede Stelle, die Probleme macht, die verbotenen Zahlen und schneidest die Ergebnisse.
Definitionsbereich in der Ökonomie, \(K(x)=100+5x\)
Mathematisch kann man jede reelle Zahl einsetzen. Für die Kosten einer Produktion gilt nur \(x\ge 0\), und bei einer Kapazität von \(200\) Stück nur \(0\le x\le 200\). Dieser Bereich heißt ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich. Stückzahlen sind eigentlich ganze Zahlen, man rechnet trotzdem meist mit allen reellen Zahlen im Bereich.
Intervallschreibweise
Statt \(x\ge 3\) schreibt man \([3,\infty)\), statt \(x\gt 3\) schreibt man \((3,\infty)\), und \(0\le x\le 200\) wird zu \([0,200]\). Die eckige Klammer heißt, dass die Grenze dazugehört, die runde, dass sie nicht dazugehört. Bei \(\infty\) steht immer eine runde Klammer.