Grenzwert für x gegen unendlich und an einer Stelle
Voraussetzung: Funktionsklasse erkennen
Ein Grenzwert sagt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn \(x\) einer Stelle zustrebt oder über alle Grenzen wächst. Du brauchst ihn, um das Langzeitverhalten ökonomischer Größen zu beurteilen (Stückkosten bei sehr großer Menge), um Asymptoten zu finden, um Stetigkeit zu prüfen und für die Regel von L'Hospital. Die Ableitung selbst ist ein Grenzwert. Voraussetzung ist der Funktionswert und das Kürzen von Brüchen.
Der Grenzwert \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) heißt: Kommt \(x\) der Stelle \(a\) beliebig nahe, kommt \(f(x)\) dem Wert \(L\) beliebig nahe. Entsprechend heißt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\), dass \(f(x)\) für immer größere \(x\) gegen \(L\) strebt. Es gelten die Rechenregeln: Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte, ebenso bei Differenz, Produkt und Faktor, und beim Quotienten, wenn der Nenner-Grenzwert nicht \(0\) ist.
Für gebrochen rationale Funktionen \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) und \(x\to\infty\) vergleichst du den Grad von Zähler und Nenner:
- Zählergrad kleiner als Nennergrad: Der Grenzwert ist \(0\).
- Gleicher Grad: Der Grenzwert ist der Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen.
- Zählergrad größer: \(f(x)\) wächst über alle Grenzen, es gibt keinen endlichen Grenzwert (er ist \(+\infty\) oder \(-\infty\)).
Der Grund: Klammerst du im Zähler und im Nenner die höchste Potenz von \(x\) aus und kürzt sie, bleibt der Bruch der Koeffizienten, mal \(x\) hoch der Gradunterschied, und alle Terme mit \(\frac1x\) gehen gegen \(0\).
Beide haben Grad 2. Der Grenzwert ist der Quotient der Koeffizienten von \(x^2\), also \(8\div 2=4\). Zur Kontrolle: Teilst du Zähler und Nenner durch \(x^2\), steht \(\dfrac{8+5/x}{2-1/x^2}\) da, und die Brüche gehen gegen \(0\).
Ein zweites Beispiel, Grenzwert an einer Stelle
Für \(g(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}\) und \(x\to 4\) steht beim Einsetzen \(0\div 0\) da. Zerlegst du den Zähler als \((x-4)(x+4)\) und kürzt, bleibt \(x+4\), und der Grenzwert ist \(4+4=8\). Die Funktion ist bei \(x=4\) nicht definiert, hat dort aber den Grenzwert \(8\).
Die Regel von L'Hospital
Haben Zähler und Nenner bei \(x\to a\) beide den Grenzwert \(0\) oder beide über alle Grenzen, darfst du Zähler und Nenner getrennt ableiten, und der Grenzwert des neuen Bruchs ist derselbe. Für \(\dfrac{x^2-16}{x-4}\) wird daraus \(\dfrac{2x}{1}\), und bei \(x=4\) ist das \(8\). Das Kürzen ist oft kürzer, die Regel hilft, wenn sich der Bruch nicht kürzen lässt.