Funktionsklasse erkennen
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Funktionen gehören zu Familien mit gemeinsamem Verhalten. Wer die Familie erkennt, weiß sofort, wie die Funktion wächst, wie viele Nullstellen sie höchstens hat, wo sie definiert ist und welche Ableitungsregel passt. Die Wirtschaft verwendet wenige Klassen immer wieder: Kosten als Polynom, Wachstum als Exponentialfunktion, Stückkosten als gebrochen rationale Funktion. Voraussetzung ist der Funktionswert.
Die wichtigsten Klassen:
- Konstante Funktion \(f(x)=c\): Grad \(0\).
- Lineare Funktion \(f(x)=mx+b\): Gerade, Grad \(1\). Die Steigung \(m\) ist konstant.
- Quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) mit \(a\neq 0\): Parabel, Grad \(2\).
- Polynomfunktion vom Grad \(n\): \(a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq 0\). Der Grad ist die höchste Potenz mit Koeffizient ungleich null.
- Gebrochen rationale Funktion \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\): Quotient zweier Polynome. Echt, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, sonst unecht. Nicht definiert, wo der Nenner null ist.
- Potenzfunktion \(x^n\): Die Variable steht in der Basis. Wurzelfunktionen sind Potenzen mit Bruch als Exponent, etwa \(\sqrt x=x^{1/2}\).
- Exponentialfunktion \(a^x\) mit \(a\gt 0\), \(a\neq 1\), und \(e^x\): Die Variable steht im Exponenten.
- Logarithmusfunktion \(\log_a x\) und \(\ln x\): Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, nur für \(x\gt 0\) definiert.
Zwei Dinge sind leicht zu verwechseln. Bei der Potenzfunktion \(x^3\) steht \(x\) in der Basis, bei der Exponentialfunktion \(3^x\) im Exponenten, und das Wachstum ist völlig verschieden. Und beim Grad zählt nur eine Polynomfunktion: Der Grad von \(x^2+\sqrt{x}\) ist nicht erklärt, weil die Wurzel kein Polynom ist.
Die Funktion \(f\) ist konstant, \(g\) linear, \(h\) ein Polynom vom Grad \(3\) (kubisch). Die Funktion \(k\) ist gebrochen rational, echt wegen Zählergrad \(1\lt 2\), und bei \(x=\pm 2\) nicht definiert. Die Funktion \(\ell\) ist eine Exponentialfunktion mit Basis \(5\), und \(m\) ist die Logarithmusfunktion, definiert für \(x\gt 0\).
Ein zweites Beispiel, der Grad bei Produkt und Summe
Der Grad einer Summe ist der größere der beiden Grade (wenn sich die höchsten Terme nicht aufheben). Der Grad eines Produkts ist die Summe der Grade. Für \((x^2+1)(x^3-x)\) ist der Grad \(2+3=5\), für \(x^2+x^3\) ist er \(3\).
Was der Grad verrät
Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen und höchstens \(n-1\) Extremstellen, denn die Extremstellen sind Nullstellen der Ableitung, die den Grad \(n-1\) hat. Eine Parabel (Grad 2) hat daher höchstens zwei Nullstellen und genau eine Extremstelle.