Konvex und konkav (Krümmung)
Voraussetzung: Monotonie
Die Monotonie sagt, ob der Graph steigt oder fällt. Die Krümmung sagt, wie er das tut: Wird die Steigung größer (konvex, der Graph wird steiler oder flacht beim Fallen ab) oder kleiner (konkav)? Das ist in der Ökonomie wichtig. Eine Kostenfunktion, die immer steiler wird, bedeutet steigende Zusatzkosten. Ein Ertrag, der immer flacher steigt, bedeutet abnehmende Zuwächse. Man könnte versuchen, die Krümmung am Steigen und Fallen abzulesen. Das ist falsch: \(e^x\) und \(\sqrt{x}\) steigen beide, aber \(e^x\) wird immer steiler und \(\sqrt{x}\) immer flacher.
Die Definition arbeitet mit einer Sehne, der Strecke zwischen zwei Punkten des Graphen. Eine Funktion heißt auf einem Intervall konvex, wenn jede Sehne oberhalb des Graphen oder auf ihm liegt. Sie heißt konkav, wenn jede Sehne unterhalb des Graphen oder auf ihm liegt. Anschaulich ist konvex wie eine Schale, nach oben gekrümmt, eine Linkskurve. Konkav ist wie ein Hügel, nach unten gekrümmt, eine Rechtskurve.
Die wichtigsten Funktionen kennst du aus dem Verlauf des Graphen. Die Tabelle zeigt ihre Krümmung.
| Funktion | Krümmung |
|---|---|
| \(x^2\), \(e^x\) | konvex |
| \(\ln x\), \(\sqrt{x}\) | konkav |
| \(x^3\) | links konkav, rechts konvex |
| \(mx+b\) | Gerade, konvex und konkav zugleich |
Die Zeile mit \(\ln x\) und \(\sqrt{x}\) gilt für \(x\gt 0\). Bei \(x^3\) liegt die Grenze bei \(x=0\). Bei der Geraden liegt die Sehne auf dem Graphen. Nach der Definition ist sie darum beides zugleich, konvex und konkav, aber nicht gekrümmt.
Bei einer Parabel \(ax^2+bx+c\) entscheidet das Vorzeichen von \(a\): Für \(a\gt 0\) ist sie nach oben geöffnet und konvex, für \(a\lt 0\) nach unten geöffnet und konkav. Die Zahlen \(b\) und \(c\) verschieben die Parabel und ändern die Krümmung nicht.
Monotonie und Krümmung sind zwei unabhängige Eigenschaften. Eine Funktion kann steigen und konvex sein (\(e^x\), immer steiler), steigen und konkav sein (\(\sqrt{x}\), immer flacher), fallen und konvex sein (\(\frac{1}{x}\) für \(x\gt 0\), die Kurve flacht ab) oder fallen und konkav sein (\(-x^2\) für \(x\gt 0\), immer steiler abwärts).
Wendepunkt
Eine Stelle, an der sich die Krümmung ändert, heißt Wendepunkt. Bei \(x^3\) ist das \(x=0\): Links ist der Graph ein Hügel, rechts eine Schale. Im Wendepunkt ist die Steigung oft am größten oder kleinsten. In der Ökonomie liegt dort der Übergang von abnehmender zu zunehmender Zusatzleistung.
Krümmung und zweite Ableitung
Die Krümmung hängt an der zweiten Ableitung. Ist \(f''(x)\gt 0\) auf einem Intervall, ist \(f\) dort konvex. Ist \(f''(x)\lt 0\), ist \(f\) konkav. Bei \(x^2\) ist \(f''(x)=2\gt 0\), bei \(\ln x\) ist \(f''(x)=-\frac{1}{x^2}\lt 0\). Wie du die zweite Ableitung bildest, steht in der Reihe zum Ableiten.
Ertragsgesetz in der Ökonomie
Ein Ertrag in Abhängigkeit vom Einsatz steigt oft zuerst immer steiler und danach immer flacher. Er ist erst konvex und dann konkav, dazwischen liegt ein Wendepunkt. Man nennt das den Verlauf nach dem Ertragsgesetz. Eine Kostenfunktion mit steigenden Grenzkosten ist konvex, eine mit Mengenrabatt konkav.