Konvex und konkav (Krümmung)
Stand: noch offen
Konvex und konkav (Krümmung)
Grundregel. Konvex: jede Sehne liegt oberhalb des Graphen oder auf ihm. Konkav: unterhalb. Parabel \(ax^2+bx+c\): \(a\gt 0\) konvex, \(a\lt 0\) konkav. \(f''\gt 0\) konvex, \(f''\lt 0\) konkav.
Beispiel
\(f(x)=3x^2-12x+5\) ist konvex: Die Sehne zwischen \(x=0\) und \(x=4\) liegt bei \(5\), der Graph bei \(x=2\) bei \(-7\).
Fälle
\(x^2\), \(e^x\) konvex. \(\ln x\), \(\sqrt{x}\) konkav. \(x^3\) wechselt bei \(0\). Eine Gerade \(mx+b\) ist konvex und konkav zugleich, denn die Sehne liegt auf dem Graphen. Konvexe Kosten: steigende Grenzkosten. Konkaver Ertrag: abnehmende Zuwächse.
Achtung
Bei konvex liegt die Sehne oberhalb des Graphen, nicht der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Steigen und Krümmung sind zwei Eigenschaften. Das Vorzeichen von \(a\) beachten.
Mein Merksatz
Wie erkennst du, ob eine Funktion konvex oder konkav ist?
Beispiel ansehen
Konvex: Sehne oberhalb des Graphen, die Steigung nimmt nicht ab. Konkav: Sehne unterhalb, die Steigung nimmt nicht zu. Für \(3x^2-12x+5\) ist der Faktor vor \(x^2\) positiv: konvex.
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Geschafft: Konvex und konkav (Krümmung)
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