Monotonie
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Der Graph einer Funktion geht auf und ab. In der Klausur wird gefragt, wo eine Funktion steigt und wo sie fällt: Kosten steigen mit der Menge, die Nachfrage fällt mit dem Preis, ein Gewinn steigt bis zu seinem Maximum und fällt danach. Dieses Verhalten heißt Monotonie. Sie gilt immer für einen Bereich, ein Intervall, nicht für einen einzelnen Punkt. Man könnte versuchen, von „steigt“ zu sprechen, wenn zwei Werte hintereinander größer werden. Das reicht nicht, wie die Parabel zeigt: Auf der einen Seite des tiefsten Punktes fällt sie, auf der anderen steigt sie, und beides lässt sich an zwei Zahlen zeigen.
Die Definition: Eine Funktion \(f\) heißt auf einem Intervall streng monoton wachsend, wenn für alle Zahlen \(x_1\lt x_2\) in diesem Intervall gilt \(f(x_1)\lt f(x_2)\). Wenn \(x\) wächst, wächst auch der Funktionswert. Sie heißt streng monoton fallend, wenn für \(x_1\lt x_2\) gilt \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Gilt nur \(\le\) oder \(\ge\), heißt sie monoton wachsend oder fallend, ohne „streng“. Dann darf die Funktion auf einem Stück konstant sein.
Die wichtigsten Funktionen kennst du schon aus dem Verlauf des Graphen. Die Tabelle zeigt, wo sie steigen und fallen.
| Funktion | Verhalten |
|---|---|
| \(mx+b\) | steigt für \(m\gt 0\), fällt für \(m\lt 0\) |
| \(x^2\) | fällt für \(x\lt 0\), steigt für \(x\gt 0\) |
| \(x^3\) | steigt überall |
| \(e^x\) | steigt überall |
| \(\ln x\) | steigt für \(x\gt 0\) |
| \(\frac{1}{x}\) | fällt für \(x\lt 0\) und für \(x\gt 0\) |
Bei einer Parabel der Form \((x-a)^2+b\) liegt der tiefste Punkt bei \(x=a\), wo die Klammer null ist. Links davon fällt die Parabel, rechts steigt sie. Die Zahl \(b\) hebt oder senkt den ganzen Graphen und verändert die Monotonie nicht. Bei einer Geraden \(mx+b\) entscheidet allein die Steigung \(m\), der Achsenabschnitt \(b\) hat keinen Einfluss.
Streng oder nicht streng
Eine Funktion, die auf einem Stück konstant ist, ist dort nicht streng monoton, sie ist monoton wachsend und fallend zugleich. Beispiel ist die Funktion, die für \(x\lt 0\) gleich \(0\) ist und für \(x\ge 0\) gleich \(x\). Sie wächst monoton, aber nicht streng. In der Klausur werden die Intervalle der Monotonie meist als Bereiche mit Ungleichung angegeben.
Monotonie widerlegen und nachweisen
Um „\(f\) fällt auf diesem Bereich“ zu widerlegen, genügt ein Zahlenpaar, bei dem der Wert größer wird: Dann ist die Aussage falsch. Um sie zu beweisen, reicht kein Zahlenpaar. Dazu brauchst du die Ableitung: Ist \(f'(x)\lt 0\) auf einem Intervall, fällt \(f\) dort, ist \(f'(x)\gt 0\), steigt \(f\). Die Vorzeichentabelle in der Reihe zum Ableiten nutzt genau das.
Monotonie in der Ökonomie
Eine Kostenfunktion ist monoton wachsend: Mehr Menge kostet mehr. Eine Nachfragefunktion in Abhängigkeit vom Preis ist monoton fallend: Ein höherer Preis führt zu geringerer Nachfrage. Eine Gewinnfunktion steigt zuerst und fällt später, an der Stelle des Wechsels liegt das Gewinnmaximum.