Stetigkeit an einer Stelle
Voraussetzung: Grenzwert für x gegen unendlich und an einer Stelle
Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen ohne Absetzen zeichnen kann. Das klingt anschaulich und ist doch eine Bedingung, die man prüfen und herstellen muss. Bei Tarifen mit Stufen, bei stückweise definierten Funktionen und bei der Frage, wo eine Funktion eine Ableitung haben kann, kommt es darauf an, ob die Stücke an der Nahtstelle zusammenpassen. Voraussetzung sind der Grenzwert und das Auswerten stückweise definierter Funktionen.
Eine Funktion \(f\) heißt an der Stelle \(a\) stetig, wenn zwei Dinge gelten:
- Der Grenzwert \(\lim_{x\to a}f(x)\) existiert.
- Er ist gleich dem Funktionswert: \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Bei einer stückweise definierten Funktion an der Nahtstelle \(a\) heißt das: Der Wert des linken Terms bei \(x=a\) und der Wert des rechten Terms bei \(x=a\) sind gleich (und stimmen mit \(f(a)\) überein). Sonst springt der Graph.
Für die elementaren Funktionen musst du nicht rechnen: Polynome, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Sinus und Kosinus sind auf ihrem Definitionsbereich stetig. Gebrochen rationale Funktionen sind überall stetig, außer dort, wo der Nenner null wird. Prüfen musst du die Nahtstellen stückweise definierter Funktionen.
Der linke Term hat bei \(x=2\) den Wert \(2^2=4\). Der rechte Term hat dort \(2\cdot 2+c=4+c\). Gleichsetzen gibt \(4+c=4\) und \(c=0\). Mit \(c=0\) passen die Stücke zusammen. Für \(c=1\) würde der Graph bei \(x=2\) von \(4\) auf \(5\) springen.
Ein zweites Beispiel, Knick ohne Sprung
Die Funktion \(g(x)=x\) für \(x\le 1\) und \(g(x)=2x-1\) für \(x\gt 1\) hat bei \(x=1\) links den Wert \(1\) und rechts \(2\cdot 1-1=1\). Sie ist stetig. Die Steigung springt von \(1\) auf \(2\), der Graph hat einen Knick, aber keinen Sprung. Stetig ist \(g\) trotzdem, ableitbar bei \(x=1\) nicht.
Stetigkeit und Ableitung
Jede Funktion, die an einer Stelle eine Ableitung hat, ist dort stetig. Umgekehrt gilt es nicht: Der Betrag \(|x|\) ist bei \(0\) stetig, hat dort aber einen Knick und keine Ableitung. Die Stetigkeit ist also die schwächere Bedingung.