Stückweise definierte Funktionen
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Viele Zusammenhänge aus der Wirtschaft haben keinen einzigen Term. Ein Tarif kostet in einem Bereich einen Satz und darüber einen anderen, eine Selbstbeteiligung ist ein Prozentsatz bis zu einer Höchstgrenze, Porto hängt vom Gewicht in Stufen ab. Dafür schreibst du die Funktion stückweise auf, mit einem Term je Bereich. Du lernst, so eine Funktion aufzustellen, einen Wert abzulesen und aus einem Funktionswert die Eingabe zu bestimmen. Voraussetzung ist der Funktionswert.
Eine stückweise definierte Funktion hat in verschiedenen Bereichen des Definitionsbereichs verschiedene Terme, zum Beispiel
\[ f(x)=\begin{cases}2x & \text{für } x\le 10,\\ 20+3\,(x-10) & \text{für } x\gt 10.\end{cases} \]
Sie ist trotzdem eine einzige Funktion: Zu jedem \(x\) gehört genau ein Wert, und die Fallunterscheidung sagt, welcher Term für dieses \(x\) gilt.
So wertest du aus:
- Prüfe, in welchen Bereich \(x\) fällt.
- Setze \(x\) in den Term dieses Bereichs ein.
- Beachte die Grenze: Sie gehört zu dem Bereich, in dem das Gleichheitszeichen steht (\(\le\) oder \(\ge\)).
So stellst du eine solche Funktion auf, wenn der Text einen Tarif beschreibt: Der erste Bereich gilt bis zur Grenze, dort ist der Term einfach. Im zweiten Bereich zahlst du erst alles, was bis zur Grenze anfällt, und dazu den neuen Satz für den Teil über der Grenze. Der Teil über der Grenze ist \(x-g\), nicht \(x\).
Die Funktion lautet \(P(m)=5+2m\) für \(m\le 8\) und \(P(m)=5+2\cdot 8+4\,(m-8)\) für \(m\gt 8\). Wegen \(12\gt 8\) gilt der zweite Term: \(P(12)=5+16+4\cdot 4=37\) Euro. Die ersten 8 kg kosten \(16\) Euro, die 4 kg darüber \(16\) Euro, dazu die \(5\) Euro Grundgebühr.
Ein zweites Beispiel, die Umkehrung
Im Beispiel kostet ein Paket \(53\) Euro. Wie viel kg wiegt es? Der Preis \(53\) ist größer als \(P(8)=21\), also liegt das Paket im zweiten Bereich. Aus \(5+16+4\,(m-8)=53\) folgt \(4\,(m-8)=32\), also \(m-8=8\) und \(m=16\) kg. Zum Vergleich: Ein Paket zu \(17\) Euro liegt unter \(21\) und gehört in den ersten Bereich, aus \(5+2m=17\) folgt \(m=6\).
Anschluss an der Grenze
Prüfe, ob die Terme an der Grenze denselben Wert geben. Im Beispiel ist \(5+2\cdot 8=21\) und \(5+16+4\cdot 0=21\). Der Graph hat dann keinen Sprung, nur einen Knick, weil die Steigung von \(2\) auf \(4\) springt. Bei einem Preis, der an der Grenze plötzlich steigt, hat der Graph dagegen eine Sprungstelle.