Gerade und ungerade Funktionen
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Manche Funktionen sehen links der \(y\)-Achse genauso aus wie rechts, andere sind um den Ursprung gedreht symmetrisch. Das erspart Rechenarbeit: Kennst du die Funktionswerte für positive \(x\), kennst du sie auch für negative. Außerdem hilft die Symmetrie, Graphen zu zeichnen und Nullstellen und Extrema zu finden. Voraussetzung ist der Funktionswert, also das Einsetzen in einen Term.
Eine Funktion \(f\) heißt
- gerade (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse), wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) im Definitionsbereich gilt,
- ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\) gilt.
Der Definitionsbereich muss mit \(x\) auch \(-x\) enthalten. Zum Prüfen setzt du \(-x\) für \(x\) ein, vereinfachst und vergleichst das Ergebnis mit \(f(x)\) und mit \(-f(x)\).
Bei Polynomen siehst du die Symmetrie an den Potenzen. Gerade Potenzen wie \(x^2\), \(x^4\) und die Konstanten verlieren beim Einsetzen von \(-x\) das Minus, ungerade Potenzen wie \(x\), \(x^3\), \(x^5\) behalten es. Besteht der Term nur aus geraden Potenzen, ist die Funktion gerade. Besteht er nur aus ungeraden Potenzen, ist sie ungerade. Kommen beide Arten vor, ist sie meist weder noch.
Du setzt \(-x\) ein und vergleichst:
\[ \begin{aligned} f(-x)&=(-x)^3-4(-x)\\ &=-x^3+4x=-f(x)\\[4pt] g(-x)&=(-x)^4-3(-x)^2+1\\ &=x^4-3x^2+1=g(x)\\[4pt] h(-x)&=x^2-x \end{aligned} \]
Die Funktion \(f\) ist ungerade und \(g\) ist gerade. Bei \(h\) ist \(x^2-x\) weder \(h(x)=x^2+x\) noch \(-h(x)=-x^2-x\). Die Funktion \(h\) ist weder gerade noch ungerade, denn der gerade und der ungerade Summand mischen sich.
Ein zweites Beispiel, Werte übertragen
Ist \(f\) ungerade und \(f(2)=5\), dann ist \(f(-2)=-5\) und \(f(0)=0\), denn \(f(0)=-f(0)\) erzwingt \(f(0)=0\). Ist \(f\) dagegen gerade und \(f(2)=5\), dann ist auch \(f(-2)=5\).
Summe und Produkt
Die Summe zweier gerader oder zweier ungerader Funktionen hat dieselbe Art wie die Summanden. Das Produkt zweier Funktionen gleicher Art ist gerade, das Produkt einer geraden und einer ungeraden ist ungerade. Etwa ist \(x\cdot x^3=x^4\) gerade, \(x^2\cdot x^3=x^5\) ungerade.