Umkehrfunktion bilden
Voraussetzung: Monotonie
Eine Funktion ordnet jedem \(x\) einen Wert \(y\) zu. Die Umkehrfunktion fragt rückwärts: Welches \(x\) gehört zu einem gegebenen \(y\)? Das brauchst du, wenn aus dem Preis die Menge gesucht ist (Preis-Absatz-Funktion nach der Menge umgestellt) oder aus der Menge der Preis, und beim Auflösen von Gleichungen mit Exponentialfunktion und Logarithmus. Voraussetzung ist der Funktionswert und das Umstellen einfacher Gleichungen.
Eine Funktion \(f\) heißt umkehrbar, wenn jeder Funktionswert nur von einem \(x\) angenommen wird. Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ordnet jedem Funktionswert \(y\) das zugehörige \(x\) zu, \(x=f^{-1}(y)\). Definitions- und Wertebereich tauschen die Rollen.
So bestimmst du die Umkehrfunktion algebraisch:
- Schreibe \(y=f(x)\).
- Löse nach \(x\) auf.
- Vertausche die Namen \(x\) und \(y\), sodass die Umkehrfunktion \(y=f^{-1}(x)\) heißt. Für einzelne Werte brauchst du das Vertauschen nicht: \(f^{-1}(c)\) ist das \(x\), das du für \(y=c\) erhältst.
Die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) liegen spiegelbildlich an der Winkelhalbierenden \(y=x\), denn liegt \((a,\,b)\) auf dem Graphen von \(f\), liegt \((b,\,a)\) auf dem von \(f^{-1}\). Ist \(f\) nicht auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton, schränkst du ihn ein, damit eine Umkehrfunktion existiert.
Aus \(y=5x+2\) folgt \(5x=y-2\) und \(x=\dfrac{y-2}{5}\). Nach dem Vertauschen von \(x\) und \(y\) ist \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}\). Der Wert \(f^{-1}(17)\) ist \(\dfrac{17-2}{5}=3\). Probe: \(f(3)=5\cdot 3+2=17\).
Ein zweites Beispiel, die Quadratfunktion
Die Funktion \(f(x)=x^2\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) nicht umkehrbar, denn \(f(2)=f(-2)=4\). Schränkst du den Definitionsbereich auf \(x\ge 0\) ein, ist sie streng monoton wachsend, und die Umkehrfunktion ist \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\). Bei \(x\le 0\) wäre sie \(f^{-1}(x)=-\sqrt{x}\). Die Wahl des Definitionsbereichs entscheidet über das Vorzeichen.
Exponential und Logarithmus
Die Exponentialfunktion \(y=e^x\) und die Logarithmusfunktion \(y=\ln x\) sind Umkehrfunktionen voneinander: \(\ln(e^x)=x\) und \(e^{\ln x}=x\). Das nutzt du, um Gleichungen mit \(e^x\) nach \(x\) aufzulösen, und es erklärt, warum \(\ln\) nur für positive Werte definiert ist: Die Werte von \(e^x\) sind alle positiv.