Funktionen verknüpfen
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Aus zwei Funktionen entstehen neue: durch Addieren, Multiplizieren, Dividieren und durch Einsetzen der einen in die andere. Solche Verknüpfungen begegnen dir ständig. Der Gewinn ist Umsatz minus Kosten, der Umsatz ist Preis mal Menge, und eine Preis-Absatz-Funktion, die in die Umsatzfunktion eingesetzt wird, ist eine Verkettung. Ohne diese Schreibweise lassen sich auch Kettenregel und Produktregel nicht lesen. Voraussetzung ist der Funktionswert.
Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit gemeinsamem Definitionsbereich werden punktweise verknüpft:
\[ \begin{aligned} (f\pm g)(x)&=f(x)\pm g(x),\\ (f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x),\\ \left(\frac fg\right)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)}\quad (g(x)\neq 0). \end{aligned} \]
An jeder Stelle werden die beiden Funktionswerte verknüpft, ein Term entsteht durch Einsetzen der Terme.
Die Verkettung (oder Zusammensetzung) entsteht, indem man eine Funktion in die andere einsetzt:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Die Funktion \(g\) ist die innere, \(f\) die äußere Funktion. Du wertest zuerst \(g\) an der Stelle \(x\) aus und setzt das Ergebnis in \(f\) ein. Die Reihenfolge zählt: \(f(g(x))\) und \(g(f(x))\) sind im Allgemeinen verschieden.
Es ist \(f(3)=9\) und \(g(3)=7\). Die Summe ist \(9+7=16\), das Produkt \(9\cdot 7=63\). Die Verkettung \(f(g(3))\) setzt \(g(3)=7\) in \(f\) ein: \(7^2=49\). Die umgekehrte Verkettung \(g(f(3))\) setzt \(f(3)=9\) in \(g\) ein: \(2\cdot 9+1=19\). Als Terme: \(f(g(x))=(2x+1)^2\) und \(g(f(x))=2x^2+1\).
Ein zweites Beispiel, ökonomisch
Die Preis-Absatz-Funktion \(p(x)=100-2x\) gibt den Preis bei der Menge \(x\) an. Der Umsatz ist Preis mal Menge, \(U(x)=p(x)\cdot x=(100-2x)\,x\). Die Kosten seien \(K(x)=20+10x\). Dann ist der Gewinn \(G=U-K\), also \(G(x)=(100-2x)\,x-(20+10x)=-2x^2+90x-20\). Das ist ein Produkt und eine Differenz von Funktionen, keine Verkettung.
Zerlegen
Beim Ableiten und bei der Kettenregel zerlegst du eine gegebene Funktion in innere und äußere Funktion. Für \(h(x)=(x^2+1)^3\) ist die innere Funktion \(g(x)=x^2+1\) und die äußere \(f(u)=u^3\). Für \(h(x)=\sqrt{4x-1}\) ist die innere \(g(x)=4x-1\) und die äußere \(f(u)=\sqrt u\). Die innere Funktion ist das, was zuerst berechnet wird.