Ganzer Gauß-Lauf
Voraussetzung: Gauß-Schritt
Bei zwei Gleichungen kommt man oft mit Umstellen und Einsetzen ans Ziel. Bei drei Gleichungen in drei Unbekannten fehlt dabei der feste Plan, und man verliert sich. Das Gauß-Verfahren ist der feste Plan: Du führst das Tableau Spalte für Spalte in obere Dreiecksform und löst dann von unten nach oben auf. In Klausuren ist das eine Standardaufgabe. Voraussetzung sind die drei Gauß-Schritte und die Schreibweise als Tableau.
Der Lauf hat vier Teile:
- Das System als Tableau aufschreiben, mit den Unbekannten in fester Reihenfolge.
- Spalte \(1\) unter der Diagonalen nullen. Steht oben links eine \(0\), vorher zwei Zeilen tauschen. Dann Zeile für Zeile das passende Vielfache der ersten Zeile abziehen.
- Spalte \(2\) unter der Diagonalen nullen, dabei die erste Zeile nicht mehr anfassen.
- Aus der letzten Zeile \(z\) lesen und von unten nach oben in die anderen Zeilen einsetzen.
Von links nach rechts zu arbeiten, hat einen Grund: Beim Nullen der zweiten Spalte benutzt du nur Zeilen, die in der ersten Spalte schon \(0\) haben. So bleiben die erzeugten Nullen erhalten. Würdest du von rechts beginnen, zerstörten spätere Schritte die früheren.
\[ \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\2&1&3&13\\1&1&2&9\end{array}\right). \]
Spalte \(1\): \(\text{II}\mapsto\text{II}-2\cdot\text{I}\) gibt \(0,\ -3,\ 1\mid -3\) und \(\text{III}\mapsto\text{III}-\text{I}\) gibt \(0,\ -1,\ 1\mid 1\). Spalte \(2\): Um Brüche zu vermeiden, vertauschst du die Zeilen II und III und multiplizierst die neue Zeile II mit \(-1\), sie lautet \(0,\ 1,\ -1\mid -1\). Dann \(\text{III}\mapsto\text{III}+3\cdot\text{II}\): aus \(0,\ -3,\ 1\mid -3\) wird \(0,\ 0,\ -2\mid -6\). Die letzte Zeile sagt \(-2z=-6\), also \(z=3\). Die mittlere sagt \(y-z=-1\), also \(y=-1+3=2\). Die erste sagt \(x+2y+z=8\), also \(x=8-4-3=1\).
Die Probe in der ersten Gleichung ist \(1+2\cdot 2+3=8\), in der zweiten \(2+2+9=13\), in der dritten \(1+2+6=9\). Eine Probe mit allen drei Gleichungen fängt Rechenfehler auf.
Wenn links oben eine Null steht
Ist das Diagonalelement \(0\), kannst du es nicht zum Nullen benutzen. Dann tauschst du die Zeile mit einer Zeile darunter, in der an dieser Stelle keine \(0\) steht. Sind alle Einträge der Spalte unter dem Diagonalelement \(0\), ist die Spalte schon genullt, und du gehst zur nächsten Spalte weiter. Bleibt am Ende eine Zeile \(0=c\) mit \(c\neq 0\) oder fehlt eine Pivotzeile, hat das System keine eindeutige Lösung.
Ein zweites Beispiel, die erste Zeile beginnt mit null
Das System (I) \(2y+z=11\), (II) \(x+y+z=7\), (III) \(2x-y+z=0\) hat in Zeile I kein \(x\). Das Diagonalelement oben links ist \(0\), also vertauschst du die Zeilen I und II. Das Tableau lautet dann \(1,\ 1,\ 1\mid 7\), \(0,\ 2,\ 1\mid 11\), \(2,\ -1,\ 1\mid 0\). Spalte \(1\): \(\text{III}\mapsto\text{III}-2\cdot\text{I}\) gibt \(0,\ -3,\ -1\mid -14\). Spalte \(2\): Damit keine Brüche entstehen, multiplizierst du Zeile III mit \(2\) und addierst das \(3\)-Fache der Zeile II. Es entsteht \(0,\ 0,\ 1\mid 5\), also \(z=5\). Aus Zeile II folgt \(2y+5=11\) und \(y=3\), aus Zeile I \(x+3+5=7\) und \(x=-1\). Die Probe in (III) stimmt: \(2\cdot(-1)-3+5=0\).