Exponential- und Logarithmusgleichungen
Voraussetzung: Logarithmus
Bei vielen Wachstums- und Zinsaufgaben steht die gesuchte Größe im Exponenten: Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital? Wann sinkt ein Bestand unter eine Grenze? Solche Gleichungen löst du nicht mit den Umformungen der Algebra, sondern mit zwei Werkzeugen: dem Vergleich der Exponenten bei gleicher Basis und dem Logarithmus als Umkehrung der Potenz. Voraussetzung sind Potenzen und der Logarithmus.
Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Es gibt zwei Wege:
- Gleiche Basis: Schreibe beide Seiten als Potenz derselben Basis. Dann sind die Exponenten gleich, denn \(b^u=b^v\) gilt für \(b\gt 0\), \(b\neq 1\) genau dann, wenn \(u=v\). Aus \(4^x=64=4^3\) folgt \(x=3\).
- Logarithmus: Lässt sich die rechte Seite nicht als Potenz der Basis schreiben, wendest du den Logarithmus an. Aus \(b^x=c\) folgt \(x=\log_b c\). Mit dem natürlichen Logarithmus: \(e^x=c\) gibt \(x=\ln c\), und \(b^x=c\) gibt \(x=\dfrac{\ln c}{\ln b}\).
Steht vor der Potenz ein Faktor oder im Exponenten eine Verschiebung, löst du sie zuerst: Aus \(3\cdot 2^x=48\) folgt durch Teilen \(2^x=16\), und \(x=4\). Aus \(2^{x-1}=16\) folgt \(x-1=4\) und \(x=5\).
Beide Seiten durch \(5\) geteilt gibt \(3^x=27\). Es ist \(27=3^3\), also folgt \(x=3\). Probe: \(5\cdot 3^3=5\cdot 27=135\).
Logarithmusgleichungen
Bei einer Gleichung wie \(\ln x=2\) steht die Unbekannte im Argument des Logarithmus. Die Umkehrung ist die Exponentialfunktion: \(x=e^2\). Entsprechend gilt \(\log_2 x=3\) genau für \(x=2^3=8\). Das Argument muss positiv sein, jede Lösung wird darauf geprüft.
Ein Anwendungsbeispiel
Ein Kapital von 1 000 Euro wächst jährlich um 5 Prozent. Nach wie vielen Jahren sind es 2 000 Euro? Die Gleichung ist \(1000\cdot 1{,}05^t=2000\), also \(1{,}05^t=2\). Der Logarithmus gibt \(t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}2\) Jahre.